高等数学一元函数积分学

高等数学一元函数积分学第一页，共110页。本讲出题在10分—18分之间，考点不多，一般在选择题、填空题、计算题中出现，不定积分是定积分的基础，定积分又是二重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，希望同学们多练习。本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。（3）凑微分技巧。本讲难点：综合利用积分方法求不定积分。考试点津：第二页，共110页。1．原函数的概念；2．不定积分的两个性质及一个推论；3．分项积分法；4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）；5．分部积分法。有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。本章重点考核的知识点第三页，共110页。第一节不定积分（一）、不定积分的概念与性质（二）、不定积分的基本公式第三章一元函数积分学2011年考了16分（三）、换元积分法（四）、分部积分法第四页，共110页。（一）不定积分的概念与性质

1.原函数

设是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，使对于该区间任意，都有关系式：或成立，则称函数为函数在该区间上的一个原函数。第五页，共110页。例又因为：所以显然，，，都是的一个原函数。第六页，共110页。★由此不难得出：

（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。

（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。

（3）若为的一个原函数，则表示的所有原函数。

第七页，共110页。任意常数积分符号被积函数被积表达式积分变量称为在该区间I上的不定积分。即：设是在区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数（c为任意常数）

2.不定积分（一）不定积分的概念与性质

第八页，共110页。设函数在某区间上的一个原函数为，则

在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上设函数在某区间上的一个原函数为，则

在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上设函数在某区间上的一个原函数为，则

在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而如下图所示：（一）不定积分的概念与性质

3.不定积分的几何意义第九页，共110页。

第十页，共110页。（一）不定积分的概念与性质

4.原函数存在定理在定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。第十一页，共110页。定理1

微分运算与积分运算互为逆运算，即

定理2定理3（一）不定积分的概念与性质

5.不定积分的性质第十二页，共110页。基本积分表是常数);（二）不定积分的基本积分公式

第十三页，共110页。基本积分表（二）不定积分的基本积分公式

第十四页，共110页。A.

B

C.

D.

提示公式：故选B第十五页，共110页。

提示公式：第十六页，共110页。

提示公式：第十七页，共110页。（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）第十八页，共110页。

2008年解答、8分第十九页，共110页。第二十页，共110页。第二十一页，共110页。第二十二页，共110页。（四）分部积分法

第二十三页，共110页。第二十四页，共110页。第二十五页，共110页。2010年解答、8分第二十六页，共110页。内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第二十七页，共110页。第二节定积分（一）基本概念与基本性质（二）牛顿-莱布尼兹公式第三章一元函数积分学（三）定积分的换元积分法和分部积分法（四）无穷区间上的反常积分第二十八页，共110页。abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）（一）基本概念与基本性质1、定积分的定义第二十九页，共110页。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第三十页，共110页。曲边梯形如图所示，b,xxxxxab][a,n1n210=<<<<<=-L个分点，内插入若干在区间1.分割2.近似第三十一页，共110页。曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为3.求和4.取极限第三十二页，共110页。定义第三十三页，共110页。被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第三十四页，共110页。注意：第三十五页，共110页。定理1定理22.定积分存在定理定理第三十六页，共110页。对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．第三十七页，共110页。曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值3.定积分的几何意义第三十八页，共110页。几何意义：第三十九页，共110页。小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第四十页，共110页。（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）性质14.定积分的性质（证明略）第四十一页，共110页。性质2第四十二页，共110页。补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第四十三页，共110页。证性质4性质5第四十四页，共110页。性质5的推论：证（1）第四十五页，共110页。证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）第四十六页，共110页。证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6第四十七页，共110页。证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式第四十八页，共110页。使即积分中值公式的几何解释：第四十九页，共110页。１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．小结第五十页，共110页。1.积分上限函数2.牛顿-莱布尼茨公式（二）牛顿-莱布尼茨公式第五十一页，共110页。考察定积分称为积分上限函数。1.积分上限函数积分上限函数的定义第五十二页，共110页。积分上限函数的性质证第五十三页，共110页。由积分中值定理得第五十四页，共110页。例1求解第五十五页，共110页。定理3（微积分基本公式）证2.牛顿—莱布尼兹公式(Newton-LeibnitzFormula)第五十六页，共110页。令令牛顿—莱布尼茨公式第五十七页，共110页。微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第五十八页，共110页。例求

解第五十九页，共110页。例7求

解解面积第六十页，共110页。3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．第六十一页，共110页。

1.定积分的换元法（三）定积分的换元法

2.定积分的对称性3.定积分的分部积分法第六十二页，共110页。定理1.定积分的换元法第六十三页，共110页。例

计算解令第六十四页，共110页。又解例

计算解第六十五页，共110页。应用换元公式时应注意:（1）（2）第六十六页，共110页。注意换元才需换上下限第六十七页，共110页。注意:（1）（2）不可以！第六十八页，共110页。证2.定积分的对称性第六十九页，共110页。第七十页，共110页。奇函数例解原式所以选D对称上下限，奇偶第七十一页，共110页。定积分的分部积分公式推导3.定积分的分部积分公式第七十二页，共110页。几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法小结定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）第七十三页，共110页。定义1（四）无穷区间上的反常积分（了解）第七十四页，共110页。例１计算解第七十五页，共110页。定义2第七十六页，共110页。解.sin20ò¥-xdx计算例第七十七页，共110页。定义3第七十八页，共110页。（一）求平面图形的面积第三节定积分的应用（二重积分和该项内容考到可能性极大）（二）求旋转体的体积第七十九页，共110页。回顾曲边梯形求面积的问题1、定积分的元素法abxyo（一）求平面图形的面积第八十页，共110页。面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值第八十一页，共110页。abxyo提示面积元素第八十二页，共110页。第八十三页，共110页。元素法的一般步骤：第八十四页，共110页。这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。第八十五页，共110页。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？，

第八十六页，共110页。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？第八十七页，共110页。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？第八十八页，共110页。第二步：写出面积表达式。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？第八十九页，共110页。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？第九十页，共110页。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？第九十一页，共110页。2、求平面图形的面积第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？第九十二页，共110页。解两曲线的交点选为积分变量第九十三页，共110页。解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积第九十四页，共110页。于是所求面积第九十五页，共110页。xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？第九十六页，共110页。xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？第九十七页，共110页。解两曲线的交点选为积分变量第九十八页，共110页。平面图形的面积的计算步骤:(1)画草图(2)选择合适的积分变量(3)求交点,确定积分限.(4)列式原则:尽可能使分的块数越少越好.第九十九页，共110页。极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为