对一能量类连接体问题的深入探讨李中玉

对一能量类连接体问题的深入探讨中山一中李中玉生活中“能量”一词有着非常广泛的运用.在物理学中，能量的知识和解决问题的方法都有着举足轻重的地位.可以说，能量不仅影响着我们的日常生活，其知识点和求解思路也是历年高考必查内容.教师和各类参考资料在这方面都非常重视，但有些题目在使用时却需要谨慎.因为物理学是对实际问题的提炼和再现，必须符合客观现实，并在此基础上培养学生科学思维能力.如违背这一点，会将学生思维发展方向引上歧途，不利于其健康发展.笔者在教学中就遇到这样一道题目，该类题型也见诸于其它参考资料中.该题目似是而非的解答，对教师和学生都有着相当的不良影响。笔者将其整理如下，请各位读者雅正。【原题】如图1所示，质量为2m和m的可看作质点的小球A、B，用不计质量、不可伸长的细线相连，跨在固定光滑圆柱两侧，圆柱截面圆半径为R.开始时，A球和B球与圆柱轴心同高，然后释放A球，求：B球在圆柱上最高点时的速率.图1B图1BA【原解析】A、B两球组成系统机械能守恒，所以所以B球在圆柱上最高点时速率.该解析是诸多教师、学生和参考资料的解答过程。从该解析用、求解，可看出该解析默认B球在圆柱上最高点为圆截面顶点.笔者以为，这是不合理的.因为有可能B球没有上升到圆截面顶点时，已脱离圆柱.为此，应先分析B球脱离圆柱的位置，然后求解B球在圆柱上最高点时的速率.图2图2BAG1G2TθG设B球和圆柱截面圆心连线与水平方向夹角为θ时，B球与圆柱间弹力为零.此时对B球受力分析，如图2.由向心力公式得(1)从释放A球到B球刚要脱离圆柱时,A、B球组成系统机械能守恒,故(2)由(1)、(2)联立得(3)这是一个超越方程，要中学生求解，存在非常大的难度。但对于一个出题者来说却是不可或缺的。笔者在这里先用作图法，再用半分插值法求解.1粗略分析用Excel，θ从零开始每增加200描一个点，在同一坐标图中，分别作方程y=4θ和方程y=5sinθ的图象，它们交点的横坐标就是方程(3)的解，如图3.yyθ05图3y=4θy=5sinθ从图3可看出方程(3)有两个解.一个是θ＝0，另一个在～之间.这两个解都小于，故原解析不正确.可是，仅这样分析并不能解出最终结果.应怎样才能解出B球在圆柱上最高点时速率呢？2用半分插值法精确求解为求出最终结果，笔者采用了半分插值法.该操作，依然在Execl中进行，其思路如下：(1)确定插值前两端数值.首次是和，并求出各自对应的4θ-5sinθ值.(2)半分插值.求得θ在～之间的中间值，以及该中间值对应的4θ-5sinθ值.(3)确定新的两端数值.比较θ为中间值时4θ-5sinθ值，与和时哪一个4θ-5sinθ值正负号相反，将该θ值与中间值作为下次插值端点数值.因与的4θ-5sinθ值正负号相反，故和为下次插值两端数值.(4)以新两端数值进行半分插值，至所需精度内4θ-5sinθ值等于零为止.笔者将该值精确到了小数点后两位，如表1.表1插值次序θ(度)θ(弧度)4θ5sinθ4θ-5sinθ60π/3325π/72451π/1445103π/2886207π/57626513π/361707π/18804π/9从表1，可看出在所需精度内θ=即时，B球已脱离圆柱表面.将θ=带入方程(1)解得B球到达圆柱上最高点时的速率v==.至此，我们已较为精确地解出了最终结果.对类似问题的求解，也当如此.半分插值法尽管对所有该类问题都能求解，但B球能到达圆柱圆截面顶点时，依然用该办法求解，就显得繁琐了.因此，进一步探讨B球上升至圆截面顶点的条件，将为我们解答此类问题带来便捷.3B球能达到圆截面顶点的条件B球能上升是由A、B两球质量不同引起的.对于A、B两球质量之比为何值时，B球才能到达圆柱圆截面顶点呢？为此，我们不妨设A球质量是B球质量m的X倍，即Xm，令，带入方程(1)、(2)中去求解，此时可解得X=；即A球质量为B球的倍时，B球可到达圆柱圆截面顶点，且恰好对圆柱无挤压.根据能量转化的关系可知，若X>，则B球在到达圆柱圆截面顶点前已脱离；若X<，则B球上升至圆柱圆截面顶点时，对圆柱有挤压.要让B球上升，A球的质量不能小于B球的.故B球能上升至顶点，A、B两球质量之比X的范围为：≥X>1.而原题中的X=2，显然不在此范围.这样，在今后遇到该类问题时，我们便能确定其求解方法.若A、B两球质量之比X范围为：≥X>1，B球能到达圆截面顶点，采用原解析思路.若X取值范围大于，B球不能上升至圆截面顶点，采用半分插值法.若X取值范围小于1，则A球上升，其思路与B球上升时完全相同.这便为我们出