2019年高考理科数学考前30天-计算题专训(一)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知an的前n项和Sn4nn2．（1）求数列an的通项公式；（2）求数列7an的前n项和Tn．2n【答案】（1）an52n；（2）Tn6nn13．2【分析】（1）当n≥2时，anSnSn14nn24n1n1252n，当n1时，a1S13合适上式，an52n．（2）解：令bn7ann12345nn1，2n2n1，所以Tn222232n22n11234nn1Tn22232n12n，两式相减得：221n1n31111n12n1n3，故Tn621．Tn2222n12n12n32nn1212218．在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，已知asinBbcosA，cosB3．51）求cosC的值；（）若a15，D为AB边上的点，且2ADBD，求CD的长．2【答案】（1）2；（2）CD13．10【分析】（1）由asinBbcosA得：sinAsinBsinBcosA，A、B、C是△ABC的内角，sinB0，所以，tanA1，故Aπ．43得：sinB2由cosB134．555又cosCcosπABcosAB；1也就是cosCcosππ2．cosBsinsinB10442（2）解：由cosC2得：sinC1272，10101015c2c由正弦定理得：sinπ72c21，BD14，4103在△ABC中，CD2152142215143169，CD13．519．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，AE1CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角2形，相关数据如下图．1）求证：EM//平面ABC；2）求出该几何体的体积．【答案】（1）看法析；（2）4．【分析】（1）M为DB的中点，取BC中点G，连结EM、MG、AG；则MG//DC，且MG1DC，MG//AE且MGAE，2故四边形AGME为平行四边形，EM//AG，又AG平面ABC，EM平面ABC，EM//平面ABC．（2）解：由己知，AE2，DC4，ABAC，且ABAC2，EA平面ABC，EAAB，又ABAC，AB平面ACDE，AB是四棱锥BACDE的高，梯形ACDE的面积SAEDCAC242226，2VBACDE14，即所求几何体的体积为4．SAB320．动点P到定点F0,1的距离比它到直线y2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不一样的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且两者订交于点M．（1）求曲线C的方程；（2）求证：ABMF0；（3）求△ABM的面积的最小值．【答案】（1）x24y；（2）看法析；（3）4．【分析】（1）由已知，动点P在直线y2上方，条件可转变为动点P到定点F0,1的距离等于它到直线y1距离，动点P的轨迹是以F0,1为焦点，直线y1为准线的抛物线，故其方程为x24y．（2）证：设直线AB的方程为：ykx1，由x24y得：x24kx40，ykx1设AxA,yA，BxB,yB，则xAxB4k，xAxB4．由x24y得：y1x2，4y1x，直线AM的方程为：y1xA21xAxxA···①，242直线BM的方程为：y1xB21xBxxB···②，42①－②得：1xB2xA21xAxBx1xB2xA2，即xxAxB2k，4222将xxAxB代入①得：y1xA21xAxBxA1xAxB1xA2，2422441M2k,1，MF2k,2，ABxBxA,kxBxAy4xAxB1，故，ABMF2kxBxA2kxBxA0，ABMF．1（3）解：由（2）知，点M到AB的距离dMF21k2，ABAFBFyAyB2kxAxB44k24，3114k2121k24k23SABd12≥4，22当k0时，△ABM的面积有最小值4．21．已知函数fxmlnxn（m、n为常数，e2.71828是自然对数的底数），ex曲线yfx在点1,f1处的切线方程是y2．e1）求m、n的值；2）求fx的最大值；（）设gxfexlnx1（此中fx为fx的导函数），证明：对随意x0，3x2都有gx1e2．（注：lnx11）x1【答案】（1）n2，m2；（2）fxmax2；（3）看法析．e【分析】（1）由fxmlnxn，得fxmnxmxlnxx0，由已知得exxexf1mn0，解得mn．又f1n2，n2，m2．eee（2）解：由（1）得：fx21xxlnx，xex当x0,1时，1x0，xlnx0，所以1xxlnx0；当x1,时，1x0，xlnx0，所以1xxlnx0，∴当x0,1时，fx0；当x1,时，fx0，fx的单一递加区间是0,1，单一递减区间是1,，x1时，fxmax2．e（3）证明：gxfxexlnx11xxlnxlnx10．对随意x0，2xxgx1e2等价于1xxlnxx1e2，令px1xxlnxx0，lnx1则pxlnx2，由pxlnx20得：xe2，4∴当x0,e2时，px0，px单一递加；当xe2,时，px0，px单一递减，所以px的最大值为pe21e