人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章一元二次方程

1.一元二次方程

预习归纳

1.等号两边都是整式，只含有一个,并且未知数的最高次数是的方程，叫

一元二次方程.

2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的.

3.一元二次方程的一般形式是.

例题讲解

【例】把方程（3x-2）（2X-3）=X2-5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项,

一次项及常数项和二次项系数，一次项系数.

基础训练

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.X2+—+1=0B.X2+J-+1=0c.2盯—1=0D.X2—xy+y2=0

XX

2.方程X（L4）=5化为一般形式为（）

Ax2-4.r+5=0B无2+4.丫+5~0cX2—4%—5=0DX2+4A-5=0

3.方程3x2—7x+4=0中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是（）

A.3、7、4B.3、7、-4C.3、-7、4D.3、-7、-4

4.（2014荷泽）已知关于x的一元二次方程X2+ax+b=0有一个非零根一b,则a—b的值为

（）

A.1B.-1C.0D.—2

5.（2014哈尔滨）若x=-l是关于x的一元二次方程X2+3x+m+l=0的一个解，则m的

值为.

6.把一元二次方程23+7）=x+2化成一般形式是.

7.下列数中一1,2,-3,-2,3是一元二次方程X2—2x=3的根是.

8.若方程X2—2x+m=0的一个根是一1,求m的值.

9.（2013牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a#0）的解是x=l,求2013—。

-b的值.

中档题训练：

10.将一元二次方程5x2—1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）

A.5、—4B.5^4C.5x2、4xD.5x2、—4x

11.若。是一元二次方程x2+6x+机2—1=0的一个根，则m的取值为（）

A.1B.-1C.±1D.以上都不是

12.已知关于x的方程x2+/zx+a=0有一个根是一a（aWO）,则a—b的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

13.若（m+l）xl"L+6mx-2=0是关于x的一元二次方程，则）=.

14.已知m是方程X2—x—2=0的一个根，求代数式4m2—4m—2的值.

15.在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了

这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空.

解：设参加聚会的同学有x人，每人共握手________次，

握手的总次数用含x的式子表示为.

根据题意，可列出方程________________________.

整理，得.

化为一般式，得_________________.

二次项系数、一次项系数、常数项分别为_____________.

综合训练题

16.已知关于x的方程（t2—9）x2+（t十3）x-5=o.

（1）当t为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解.

（2）当t为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系

数及常数项.

2.配方法一一解一元二次方程（一）——直接开平方

预习归纳

1.若X2=p（p?0）,则X1=,x2-.

例题讲解

【例】用直接开方法解方程.

（1）9x2=25⑵2x2-98=0

基础题训练

1.16的平方根是（）

A.4B.-4C.±4D.±8

2.方程X2=9的解是（）

A.X1=X2=3B.乂1=*2=-3C.X]=3,x2=-3D.x

=3

3.方程总=3的解是()

A.X=X=正B.X=X=-J3C.,X=_串D.x=3

1212

4.方程（x-l>=0的解是（）

A.x1=l,x2=-lB.x1=x2=lC.X1=X2=-1D.X]=l,X2=-2

5.方程G—»=9的解是()

A.x1=l,x2=—3B.X]=4,x2=-4C.x】=4,x2=-2D.x=3

6.(2014济宁)若一元二次方程QX2=b(ab>0)的两个根分别是m+/与2m—4,则2

a

7.用直接开方法解方程.

(1)3(x—2)2=0(2)3(x-1)2=27

8.如果x是关于x的方程2x2+3ax-2a=0的根，求关于y的方程>2-3=。的解.

中档题训练：

9.(2013鞍山)已知bVO,关于x的一元二次方程(x—1)2=6的根的情况是().

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.有两个实数根

10.(2013丽水)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次

方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是().

A.x+6=-4B.x—6=4C.x+6=4D.x+6=—4

11.一元二次方程x2+2x-99=0变形正确的是()

A.(x+l>=100B.G-l>=100C.(x+2>=100D.(x-2>=100

12.方程3x2=2的根是.

13.解下列方程：

⑴(2x+51-1=0⑵(x-l)G+l)=l

(3)5(x—3)2—125=0⑷4x2—4x+l=5

综合题训练:

川口x2-4x+y2+6y+Jz+1+13=0

14.已知x、y、满足,求关于m的方程

Jm2_;v+y_z=0的根.

4

3.配方法一一解一元二次方程(二)

预习归纳

i.通过配成解一元二次方程的方法，叫配方法.

例题讲解

【例】用配方法解方程：

(1)X2+2x—3=0(2)X2—2x—8=0

基础题训练

1.填空：（1）X2—20x+=（X—）2

（2）X2+__x+81=（X+）2

（3）X2+5X+=（X+）2

2.用配方法解一元二次方程X2-4x=l,配方后得到的方程是（）

A.（X—2）2=1B.（X—2）2=4C.（x—2）2=5D.（x—2）2=3

3.（2013兰州）用配方法解方程X2—2X—1=0时，配方后得到的方程为（）

A.（x+l）2=0B.（x-l）2=0C.（X+1）2=2D.（X~1）2=2

4.（2014宁夏）一元二次方程X2—2X—1=0的解是（）

A.X]=X2=1B,x1=i+0，X2=-1-72

cx=x=Dx=,x=

-il+y/2,21-72-i-l+^22-1-4^

4

5.用配方法解方程2x2-耳》-2=0变形正确的是（）

6.填空：

（1）X2—4x+___=（X—____）2（2）xz+6x+____=（x+____）2

4

（3）X2——-x4___=（X-____）2（4）X2-3ox+___=（x-____）2

3

7.用配方法解下列方程：

（l）2m2—6m+3=0（2）6x2—x—12=0

中档题训练：

8.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方

成下列的()

(x-p)1-5Q-n)2=9G-p+2)2=9

A.B.C.

DG-p+2)2=5

9.关于x的一元二次方程(加+1)加，4|+4%+2=0的解为()

A.X1=l,x2=~lB.x1=x2—lC.x1—x2——lD.无解

10.添上适当的数，使下列等式成立：

⑴2JC2+X+=2(x4-)2(2)3x2+2x-2=3(x+_____)2—

11.如果(x-y)2—2(x-y)+l=0,那么x与y的关系是.

12.用配方法解下列方程：

(1)x2-2x=5；(2)2y2-4y=4

13.已知实数x,y满足x2+y2+4x—6y+13=0,求力的值.

综合题训练:

14.试证明：不论X,y为何值，》2+尸+》->+1的值都为正数.

专题配方法的应用

一、配方法解方程

(1)x2—3x—2=0(2)3x2—6x—1=0

二、已知az、加配方求2ab.

2.若代数式9x2+kxy+港是完全平方式，则k的值为（）

A.6B.±6C.+12D.12

三、已知02、2ab配方求bt

3.若代数式X2—5x+k是完全平方式，则女=.

四、配方法求最值

4.求多项式X2+3x—1的最小值.

5.求多项式-2X2+5X+3的最大值.

五、配方法比较大小

6.求证：不论x为何值，多项式2x2—4x-l的值总比X2—6X-6的值大.

六、配方法与非负数

7.m2+n2+4m—2"+5=0,求3m2+5/12—4的值.

8.已知-y+|y-4〔+4x2+4x+l=0.求x—y+z的值.

4.公式法一一解一元二次方程（一）——根的判别式

预习归纳

1.式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，常用希腊字母

来表示.

2.一元二次方程：ax2+bx+c=0,当—时，它有两个不等的实数根，当时，它有

两个相等的实数根，当时，它无实数根.

例题讲解

【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.

（1）3X2-2X-1=0;（2）2X2-x+l=0.

基础题训练

1.（2013成都）一元二次方程X2+x-2=0的根的情况是（）.

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2.方程X2+16=8x的根的情况为（）.

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根.

C.有一个实数根D.没有实数根.

3.（2014益阳）一元二次方程x2—2x+m=o总有实数根，则m应满足的条件是（）.

A.m>lB.m=lC.m<lD.mWl

4.（2014宁波）已知命题“关于x的一元二次方程X2+bx+l=0,当b<0时必有实数解”,

能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）.

A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=0

5.已知关于x的一元二次方程X2+kx+l=0有两个相等的实数根，则卜=.

6.（2014广东）关于x的一元二次方程x2—3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的

取值范围为（）.

9999

A.m>—B.m<—C.m——D.m<——

4444

7.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.

（1）4x—X2=XZ+2（2）3X—1=2X2

8.当m为何值时，方程2x2—（4m+1）x+2m2—1=0

⑴有两个不相等的实数根？

⑵有两个相等的实数根？

⑶没有实数根？

中档题训练：

9.已知关于x的一元二次方程X2+bx+b=0有两个相等的实数根，则b的值是.

10.已知关于x的一元二次方程（。一1m2-2*+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值

范围是（）

A.o<2B.a>2C.aV2且aWlD.a<-2

11.一元二次方程ax2+bx+c=0中a、c异号，则方程根的情况是（）

A.有两个不相等实数根B.两个相等实数根

C.没有实数根D.无法确定

12.（2013潍坊）已知关于x的方程kX2+（l—k）x—1=0,下列说法正确的是（）.

A.当k=0时，方程无解B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当A=-l时，方程有两个相等的实数解D.当kWO时，方程总有两个不相等

的实数解

13.若关于x的一元二次方程mx2—（2m—2）x+m=0有实数根，则m的取值范围是.

14.已知关于x的一元二次方程kx2—2x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围.

15.已知关于x的一元二次方程（m—l）x2+x+l=0有实数根，求m的取值范围.

综合题训练：

16.已知关于x的一元二次方程（a+c）X2—2bx—a+c=O有两个相等的实数根，试求以a、

b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状.

专题一元二次方程根的判别式

一、已知常数系数直接判断方程根的情况

1.不解方程直接判别下列方程根的情况.

（1）x2-j3x--=0（2）3X2—6x+3=0（3）x（2x-4）=-5-8x

4

二、含字母系数时将△配方成G,-02,G+正数，一02一正数，来判断方程根

的情况

2.判别下列关于x的一元二次方程的根的情况.

（1）-X2-2mx+5m2+1=0（2）X2—4mx+4m2=0

4

（3）—%2-mx+-A=0（4）—%2-mx4-/n-4=0

222

三、“结合aWO”确定字母的取值范围

3.关于x的一元二次方程（a—5）X2—4x-1=0有实数根，则。满足（.

A.aNlB.a>l且aW5C.aNl且aW5D.aW5

4.当m为何值时，关于x的一元二次方程（m2-l）x2+2（m-i）x+i=o,有两个不相等的

实数根.

四、判别式与隐含条件相结合

5.已知关于x的一元二次方程（l—k）X2—2X—1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整

数值是（）.

A.2B.1C.0D.-1

6.已知关于x的一元二次方程kxz—4kx+k—5=0有两个相等的实数根，求A的值.

7.（2013西宁）函数y=kx+b的图象如图所示，试判断关于x的方程x2+x+k-l=0根的情况.

5.公式法一一解一元二次方程(二)

预习归纳

1.当△》()时，一元二次方程以2+。%+，=()的求根公式是

例题讲解

【例】用公式法解方程：

(1)X2-5x4-2=0；(2)=6x+l

基础题训练

1.方程2工2一工一3=。中，a=,b=

2.方程5心+l=5x中的△=-4。。=

3.(2013.广西)一元二次方程工2-2%一3=。的解是()

A.x=—l,x=3B.x=l,x=-3

1212

C.x=-l,x=-3D.x=l,x=3

I212

4.方程%2+%-1=0的两根是()

A.1+J5B.卷£-1±J5

c.-1+^5

D,2

5.方程k+3x=2的正根是()

-3±J173士洞-3-J17-3+J17

A.-------B.-------C，2D.--------

222

6.用公式法解方程：

(1)2x2-3%=0;(2)3x2+6x-5=0

(3)0.2x2-0.1=0.4x；(4)0尤-2=2x2.

(5)4x2-3x-5=x-2.(6)3x(x-3)=2(x-1)(x4-1)；

中档题训练

7.（2014.荆门）己知。是一元二次方程举一尤-1=。较大的根，则下面对a的估计正确的

是()

A.0<a<lB.l<a<l.5C.1.5<a<2D.2

<a<3

8.用适当方法解下列方程：

(1)(3X+1)2-9=0(2)%2+4x-l=0

⑶3x2-2=4x⑷(y+2"=l+2y

9.已知一元二次方程X2--1=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围;

（2）若方程有两个相等的实数根，求此方程的根.

综合题训练

10.（2013.北京）已知关于x的一元二次方程举+2》+2攵-4=0有两个不相等的实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

6.因式分解法一一解一元二次方程

预习归纳

1.用因式分解法要先将方程一边化为.,另一边为0,再分别使各一次因

式等于0.

例题讲解

【例】用因式分解法解下列方程：

（1）X24-X=（）(2)9x2-4=0

基础题训练

1.多项式x2-5x因式分解结果为.

2.多项式2x（x—3）—5（x—3）因式分解结果为.

3.（2014.舟山）方程》2—3%=0的根为.

4.经计算整式x+1与X—4的积为心一3尤一4,则X2—3x-4=o的所有根为（）.

A.x=-ix=-4B.x=-l,x=4c.x=l,x=4D.x=l,x=-4

Iy2I2I212

5.（2013.河南）方程（x-2）（x+3）=0的解是（）

A.x=2B.x=-3C.x=2,x=-3D.x=-2x=3

i2I2

6.（2013.宁夏）一元二次方程x（尤-2）=2-龙的根是（）

A.-1B.2C.1和2D.-1和2

7.方程5x2-2x=0的根是（)

22八2八2

A.X=X——B.X=X=——_C.x=U,x=一D.%=0,%———

125125125I25

8.用因式分解法解下列方程：

(1)(X-1)2-2(X-1)=0(2)(3X-1)2-4=0

(3)5尤(x-3)=(x-3)(x+1)(4)(x-4”-(5-2x)2=0

中档题训练

9.若关于x的一元二次方程的两根为x=1/=-2,则这个方程可以是___________.(任

12

写一个即可)

10.a,b,c为△A8C的三边，且a,b,c满足3一33-。)=0,则△△8c的形状是角

形.

11.三角形一边长为10,另两边长是方程x(x-6)—8(x—6)=0的两实数根，则这是一个

三角形.

12.选择适当的方法解下列方程：

(1)X2-2X=5(2)(X-2)(X+3)=-6

⑶X2-6r-l=0⑷3尤(2x+l)=4x+2

13.已知关于x的一元二次方程x2+4x+加=0.

(1)当m=l时，请用配方法求方程的根；

(2)若方程没有实数根，求m的取值范围.

综合训练

14.已知关于X的一元二次方程"2+"+1=0中，b=Ja-m+-Jm-a+m+l.

(1)若。=4,求b的值；

(2)若方程ax?+bx+1=0有两个相等的实数根，求方程的根.

专题一元二次方程的解法

一、一元二次方程和方程解的概念

1.若方程(加+2)加，1+3，加一1=0是关于*的一元二次方程，则团=.

2.已知x=l是一元二次方程X2—加x+l=O的一个解，则m的值是()

A.2B.0C.0或2D.—2

二、用公式法解方程

3.解方程：

(1)X2+尤-1=0⑵尤2+3x-l=0

三、用配方法解方程

4.解方程:

⑴x(x+2)=l(2)5(x-3)2=125

四、用因式分解法解方程

5.解方程：

(1)x(x-2)=x(2)X2-6X--9

五、选择你喜欢的方法解方程

6.解方程:

(1)3x2+(x-2)=0⑵(2x—l)(x+3)=4

(3)3x(x-l)=2(x-l)(4)(2X-1)2=(3-X)2

专题利用几何构建一元二次方程

【方法归纳】：通过几何条件构建一元二次方程.

一、利用面积构建一元二次方程

1.如图，ZVIBC中，ZC=90°,AC=6cm,8c=8cm,点P从A沿AC边向C点以lcm/s

的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在8点停

止.

⑴如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S=8C7772

XQPC

⑵如果点P从点A先出发2s,点Q再从点C出发，经过几秒钟后S=4CTW2?

AQPC

（3）如果点P、Q分别从4、C同时出发，经过几秒后PQ=BQ?

二、利用勾股定理构建一元二次方程

2.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,CD=2,AB=3,AD=7,点P为线段

4。上一点，CPIBP,求DP的长.

3.如图，直角梯形AECD中，AE//CD,Zf=90°,AE=CE=12,M为EC上一点、,若/MAD

=45°,0M=10,求EM的长.

7.一元二次方程的根与系数的关系

预习归纳

1.一元二次方程。心+法+C=°的两根匕、二满足5+、2=------------------

XX=.

12---------------------

例题讲解

【例】若方程X2—3尤-1=0的两根为XX,求」_+」_的值.

】、2xX

12

基础题训练

1.若XX是一元二次方程x2-5x+6=。的两个根，则X+X的值是（）

I、2I2

A.1B.5C.-5D.6

2.（2014.昆明）已知X尤是一元二次方程无2-4%+1=0的两个根，则x“等于（）

1、212

A.-4B.-1C.1D.4

3.已知方程3工2-5工一7=。的两根为xX，则下列各式中正确的是（）

I、2

A.x+x=5x-x=7B.x+x=-5xx=-7

12J12I2'12

5757

cx+X=—X-X=--DX+X=一一X-X=一一

I23，123123，】23

4.（2014.攀枝花）若方程龙2+》-1=0的两实根为a、B,那么下列说法不正确的是（）

A.a+。=-1B.a。=-1C.012+02=3D.一+"75"=-1

aB

5.若0,-3是方程x2-px+q=0的两个根，则a+B=.

6.（2013.雅安）已知XX是一元二次方程尤2-2%=0的两根，则x+X的值是_______.

1、212

7.（2014.黄冈）若a、B是一元二次方程X2+2%—6=0的两根，则a2+B2=（）.

A.一8B.3C.16D.40

8.若X、X是一元二次方程2*-31-1=0的两个根，求下列代数式的值.

1、2

⑴X+尤；（2）x•%.（3）3x・3x+2x+2x

1212'1212

11

（4）12+2xX+九2；（5）一+—；（6）X2+X2

1122XX12・

12

中档题训练

9.当山=时，关于x的方程24一(/m-4)x=0的两根互为相反数.

10.已知xx是一元二次方程2%2+以一。=0的两个实数根，贝ijx+x-2xx等于

1、21212

()

aaaa

A.+—B.~e~2C.~c+—D.c一万

11.一元二次方程3%2-8%+加=0的两根之比为3：1,则山等于()

A.4B.-4C.3D.5

12.一元二次方程x2—4x-c=0的一个根是2+JJ,求另一个根及c的值.

13.若匕、己是一元二次方程的一2x2+3x+l=°两个根,求下列代数式的值.

XX

⑴『）2（2）T+1

XX

12

（3）（X-2）（x-2）（4）Ix-xI

12

综合题训练

14.若关于x的一元二次方程籍+(优+1)》+m+4=0的两实数根的平方和为2,求m的

值.

专题一元二次方程的根与系数关系

一、直接求两根之和与两根之积

1.根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根X、X的和与积.

1、2

(1)X2+3x+2=0(2)5x2+尤一5=0

(3)工2+尤=5工+6(4)7x2—5=8-3尤

二、不解方程求对称式的值

2.设xx是一元二次方程2x2-5x-1=0的两根，求下列代数式的值.

1、2

cXX

(1)X2X+X2X(2)X2+X2-3XX⑶T+—I-(4)IX-XI

12211212XX12

三、已知方程的一根求另一根及未知系数

3.已知x=l是方程X2+法—2=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.

4.(2013.玉林)已知关于x的方程x2+x+"=0有两个实数根一2,m,求m,n的值.

四、已知方程的两根求新方程

5.已知一元二次方程的两根为2+#和2一户，则该一元二次方程为

五、与判别式结合求字母系数的值

6.已知关于x的一元二次方程加X2-2X+1=0.

(1)若方程有两个实数根，求m的范围；

1

(2)若方程的两个实数根为x、X,且满足XX-x-X=-,求m的值.

1、212122

7.已知关于x的方程4+2（。-1"+。2-74—4=0的两根为xx,且满足

1、2

XX-3x-3x+4=0,求a的值.

1212

六、与绝对值结合求字母系数的值

8.已知关于X的方程X2+2(Z-l)x+左2=0有两个实数根XX.

I、2

(1)求k的取值范围；

⑵若lx+X\=xx-1,求k的值.

1212

9.(2013.荆州)己知关于x的方程履2-(3k-l)x+2(左一1)=0

(1)求证：无论A为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根x、X,且Ix-x1=2,求k的值.

1、212

8.实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题

预习归纳

1.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一

个人传染了几个人？

例题讲解

【例工九⑴班每个同学都能与全班同学交换小礼物一件，共计全班交换小礼物2550件，求

九⑴班有多少个同学？

基础题训练

1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支

干和小分支的总数是73,设每个支干长小分支的个数为X,则依题意可列

为.

2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程

计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个对参赛，则x满足的关系式为

（）

A.1x(x+l)=28B.，x(x-l)=28C.x(x+1)=28D.x(x-l)=28

22

3.两个连续奇偶数的积是323,那么这两个数是（）

A.17,19B.-17,-19C.17,19或一17,—19D.17,-19

4.有一人患了流感，经过两轮传染后有64人患了流感.

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

5.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3,求这个两位数为.

中档题训练

6.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比

赛，则依题意可列方程为

7.要参加一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，

设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为.

8.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干

和是91,每个支干长出多少小分支？

9.有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133

人收到短消息、，问每轮转发中平均一个人转发给几个人？

综合题训练

10.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2,如果把这个数的个位数字与十

位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36,求原来的两位数.

9.实际问题与一元二次方程(二)增长率与利润问题

归预习纳

1.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是X,根据

题意，可列方程一

例题讲解

【例工2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为

每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率.

基础题训练

1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。已知两次降价的百分率都为X,

那么x满足的方程是()

A.100(1+%)2=81B.100(l-x)2=81C.100(1-x%)2=81D.100v2=81

2.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平

均增产率.设该果园水果产量的年平均增长率为X,则根据题意可列方程为()

A.144(1-X)2=100B.100(1-x)2=144144(1+x”=100D.100(1+x)2=144

3.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八，九月份平均

每月的增长率为x,那么x满足的方程为()

A.50(1+x)2=196B.50+50(1+X)2=196

C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196

4.某电视机厂2008年生产一种彩色电视机，每台成本3000元，由于该厂不断进行技术革

新，连续两年降低成本，至2010年这种彩电每台成本仅为1920元，设平均每件降低成

本的百分数为X,根据题意，可列方程.

5.某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到

345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是.

6.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第

一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。

(1)如果第二天，第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率.

(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

中档题训练

7.2006年1月6日，李宪生市长在武汉市第十一届人民代表大会第四次会议上的《政府工

作报告》中指出：过去的五年，是武汉经济发展实现新跨越的五年生产总值（GDP）由2000

年的1207亿元增加到2005年的2238亿元，平均增长13%,按以上数据，下列说法：

①2002年生产总值为1207（1+13%）2亿元;②2003年生产总值为2238（1-13%）亿元；

③2004年生产总值为2238亿元;④按2005年武汉市总人口850万计算，2005年武

10.13

汉市人均GDP超过2.6万元，其中正确的是（）

A.②③④B.①③④C.①②③D.①②④

8.两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产一吨乙种药品的成本是6000元，随着

生产技术的进步，现在生产一吨甲种药品的成本是1800元，生产一吨乙种药品的成本是

2160元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

9.小丽为学校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不

超过10件时，单价为80元，如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服

装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了

1200元，请问她购买了多少件这种服装？

10.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采

取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每

件商品降价x元.据此规律，请回答：

⑴商场日销售量增加一件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

⑵在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到J2100

元？

10.实际问题与一元二次方程（三）面积问题

预习归纳

1.若长方形的长为X,周长为12,则宽为,面积为.

例题讲解

2.如图，长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两天宽度相等且互相垂直的道路，剩余

部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，

则可列方程为（）

A.100x80—100x—80尤=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644

C.(100-尤)(80—x)=7644D.100x+80x=356

1.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为（)

A.5/37B.5

2.如图，某小区规划在一个长30m,宽为20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，

使其中两条与A8平行，另一条与8c平行，其余部分种花草，要使每一块的面积为78Itf