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文档简介
【名师】6.3.3空间角的计算课堂练习一.单项选择1.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.B.C.D.3.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积,则()A. B.C. D.4.在正方体中,若棱长,则点到平面的距离为()A.B.C.D.5.如图,在正三棱柱中,底面边长为2,,则直线与直线所成角的余弦值为A.B.C.D.6.已知,且,则()A. B.2 C. D.7.在正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.8.如图,平面平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且,G是EF的中点,则点B到平面AGC的距离为()A. B. C. D.9.过正方形的顶点,作平面,若,则平面和平面所成的锐二面角的大小是()A.B.C.D.10.如图,在长方体中,,,点是棱的中点,则点到平面的距离为().A.B.C.D.11.已知直四棱柱的所有棱长相等,,则直线与平面所成角的余弦值等于()A. B. C. D.12.在正四棱柱中,,E为的中点,则直线BE与平面所形成角的余弦值为()A.B.C.D.13.在直角梯形中,,,分别是的中点,平面,且,则异面直线所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°14.如图,已知正三棱柱的棱长均为2,则异面直线与所成角的余弦值是()A.B.C.D.015.如图,长方体中,,,..分别是..的中点,则异面直线与所成角的正弦值是()A.B.C.1D.016.如图,三棱锥D-ABC中,,平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,则异面直线CM与BN所成角的余弦值为()A. B. C. D.017.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E.F分别在棱AA1和AB上,且C1E⊥EF,则|AF|的最大值为()A. B.1 C. D.218.已如向量,且与互相垂直,则A. B. C. D.
参考答案与试题解析1.【答案】B【解析】建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,求出的坐标,以及的坐标,可得,因此,即【详解】以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,则,,,,,,,,则即故选【点睛】本题考查了空间直线的位置关系,在解答本题中采用了建立空间直角坐标系,然后计算求出结果,较为基础。2.【答案】B【解析】以D为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,取得平面的法向量为,即可求解点E到平面的距离,得到答案.【详解】如图所示,以D为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量为,则,取,得,所以点E到平面的距离为,故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用,其中解答中建立适当的空间直角坐标系,熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.3.【答案】C【解析】根据顶点的坐标,分别向三个坐标平面正投影,找出正投影的图形形状.边长等,从而解出三个图形的面积,进而比较大小。【详解】解:三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为,,,,在平面上正投影的图形为直角三角形,其面积为;三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为,,,,在平面上正投影的图形为直角梯形,其面积为;三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为,,,,在平面上正投影的图形为直角三角形,其面积为;所以得,故选C。【点睛】本题考查了点的正投影知识,点的正投影是将点向面作垂线,垂足便是该点正投影对应的点,这里其实是将正投影转化为我们熟悉的线面垂直问题,如何作垂直,找出垂足是解决本问题的关键。4.【答案】A【解析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点到平面的距离。【详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量则,取,可得点到平面的距离为故选【点睛】本题考查了点到平面的距离,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,运用公式计算出结果,较为基础5.【答案】A【解析】以A为原点,AB为x轴,在平面ABC中,过A作AB的垂线为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值.【详解】在正三棱柱中,底面边长为2,,以A为原点,AB为x轴,在平面ABC中,过A作AB的垂线为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,0,,0,,0,,,0,,,设直线与直线所成角为,则.直线与直线所成角的余弦值为.故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.6.【答案】B【解析】先由与的坐标,表示出与,再由向量共线的坐标表示即可求出结果.【详解】因为,所以,;又,所以,解得,因此.故选B【点睛】本题主要考查由向量共线的问题,根据向量的坐标运算求解即可,属于基础题型.7.【答案】D【解析】设,建立空间直角坐标系,求出向量坐标,平面的一个法向量,设与平面所成角为,利用向量的夹角公式求出即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,设,则,,,,故,,,设平面的法向量为,则即令,则,,即平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为,则,故选D.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量.平面法向量夹角关系是解决问题的关键.8.【答案】D【解析】以A为原点,AF为x轴,AB为y轴,AD为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点B到平面AGC的距离.【详解】平面平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且,G是EF的中点,以A为原点,AF为x轴,AB为y轴,AD为z轴,建立空间直角坐标系,2,,0,,1,,2,,2,,1,,2,,设平面AGC的法向量y,,则,取,得,点B到平面AGC的距离为:.故选:D.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.9.【答案】B【解析】法一:建立如图(1)所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为=,故所求的二面角的大小是45°.法二:将其补成正方体.如图(2),不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45°.10.【答案】C【解析】先建立空间直角坐标系,再求出平面ACD1的法向量=(2,1,2),再求点E到平面ACD1的距离.【详解】如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为h===.故答案为:C【点睛】(1)本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点P到平面的距离公式为.11.【答案】B【解析】取中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值.【详解】直四棱柱的所有棱长相等,,取中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,设平面的法向量,则,取,得,设直线与平面所成角为,则,∴,∴直线与平面所成角的余弦值等于,故选B.【点睛】本题考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,空间向量在立体几何中的应用,是中档题.12.【答案】C【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BE与平面所形成角的余弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,设,则1,,0,,1,,0,,,0,,,设平面的法向量y,,则,取,得2,,设直线BE与平面所形成角为,则.直线BE与平面所形成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.13.【答案】B【解析】将该几何体补形为一个长宽高分别为的长方体,建立空间直角坐标系如图所示,则:,据此计算可得:,,,设异面直线所成的角为,则:.本题选择B选项.14.【答案】C【解析】建立空间直角坐标系,结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:,,,,向量,,.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解,空间向量的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.【答案】C【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵AA1=AB=2,AD=1,点E.F.G分别是DD1.AB.CC1的中点,∴A1(1,0,2),E(0,0,1),G(0,2,1),F(1,1,0),=(﹣1,0,﹣1),=(1,﹣1,﹣1),=﹣1+0+1=0,∴A1E⊥GF,∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0,正弦值为1.故答案为:C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.16.【答案】A【解析】取BC中点O,连结OD,OA,则OD⊥BC,OA⊥BC,OD⊥OA,以O为原点,OC为x轴,OA为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值.【详解】取BC中点O,连结OD,OA,∵三棱锥D-ABC中,,平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,∴OD⊥BC,OA⊥BC,OD⊥OA,以O为原点,OC为x轴,OA为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,C(,0,0),A(0,,0),D(0,0,),M(0,,),N(,0,),B(-,0,0),=(-,,),=(,0,),设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ,则cosθ=.∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为.故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.17.【答案】B【解析】建立空间直角坐标系,求出坐标,利用C1E⊥EF,求出|AF|满足的关系式,然后求出最大值即可.【详解】以
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