江西省吉安市白沙中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

江西省吉安市白沙中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜参考答案：D【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜me＜，故选：D．2.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C3.设a＞b，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”成立的(

)条件．A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑．【分析】通过讨论a，b的符合，去掉绝对值号，判断即可．【解答】解：当a＜0时：b＜0，a|a|=﹣a2，b|b|=﹣b2，∵a＞b，∴a2＜b2，∴﹣a2＞﹣b2，故a|a|＞b|b|，当a＞0，b＜0时恒成立，当a＞0，b＞0时：a|a|=a2，b|b|=b2，∵a＞b，∴a2＞b2，综上：a＞b时，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”成立的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查分类讨论思想，是一道基础题．4.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．1参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．【点评】本题考查了二项式系数和与展开式中各项系数的和的计算问题，是基础题．5.下列等式正确的是A.

B.

C.

D.

参考答案：D6.已知数列满足,则的前10项和等于（

）A．

B。

C.

D．参考答案：C略7.设，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A8.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）[参考答案：C略9.设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A． B．（0，） C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】函数思想；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为x＜1﹣3x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜故选：C【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．10.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将的图象（

）A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝

▲

．参考答案：｛0，1｝

考点：集合的运算．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．【解答】解：∵2bcosC﹣3ccosB=a，∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴sinBcosC=4cosBsinC，∴tanB=4tanC．∴tan（B﹣C）===≤．故答案为：．13..

参考答案：16知识点：等比数列的通项公式解析：因为已知数列为等比数列，且，则，所以=16；故答案为：16．【思路点拨】因为已知数列为等比数列，所以成等比数列，利用等比中项可求。

14.已知sinα=，则cos2α=

．参考答案：考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答： 解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．15.函数在上恒为正，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.

．参考答案：17.现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是

．（填写所有正确结论的编号）①所有纺织工都投了健康保险

②有些女工投了健康保险

③有些女工没有投健康保险

④工会的部分成员没有投健康保险参考答案：.①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=7，AC=8，CD=6，BC⊥CD．（Ⅰ）求∠BAC的大小；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△BAC中，利用余弦定理求∠BAC的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，即可求四边形ABCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，在△BAC中，，则．（Ⅱ）在△BAC中，，则，．综上四边形ABCD的面积为．19.（本小题满分14分）函数，其图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，且，∴即解得，，∴．………4分（Ⅱ）由，可得，，则由题意可得有三个不相等的实根，即的图象与轴有三个不同的交点，，则的变化情况如下表．4＋0－0＋↗极大值↘极小值↗则函数的极大值为，极小值为．……6分的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．……………………8分（Ⅲ）存在点P满足条件．……………9分∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴，∴．上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…………14分略20.已知函数.（1）当时，讨论f(x)极值点的个数；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.参考答案：（1）极大值点，且是唯一极值点；（2）【分析】（1）将代入，求导得到在上单调递减，则在上存在唯一零点，进而可判断出是的极大值点，且是唯一极值点；

（2）令，得到，则与的图象在上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到的取值范围.【详解】解：（1）由知.当时，，，显然在上单调递减.又，，∴在上存在零点，且是唯一零点，当时，；当时，，∴是的极大值点，且是唯一极值点.（2）令，则.令，，则和的图象在上有两个交点，.令，则，所以在上单调递减，而，故当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.故.又，当且时，且，结合图象，可知若和的图象在上有两个交点，只需，所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数零点个数，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中．（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【解】（1）由已知条件得，,,所以……2分，则设，则，所以；………2分即满足方程，所以点在直线上.………1分（证明