广东省汕头市潮阳中寨中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市潮阳中寨中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在[－1,+∞)上的函数f(x)的导函数满足，设，，，则下列判断正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.计算机是将信息转换成二进制进行处理的。二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它转换成十进制形式，是，那么将二进制数转换成十进制形式是：A．B．C．D．参考答案：C4.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（

）

参考答案：A5.如果方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

解析：7.已知{an}是等比数列，a1=2，a4=16，则数列{an}的公比q等于（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a4=，∴16=2q3，解得q=2．故选：A．8.设x＞0，y＞0，且2x+y=20，则lgx+lgy的最大值是（） A．50 B．2 C．1+lg5 D．1参考答案：C【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式． 【分析】由已知条件，可以得到2x+y=20≥2，进而得到xy的最大值为50，也就得出lg（xy）的最大值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=20 ∴2x+y=20≥2，（当且仅当2x=y时，等号成立．） ∴xy≤50 lgx+lgy=lg（xy）≤lg50=1+lg5． 即lgx+lgy的最大值为1+lg5． 故选：C． 【点评】本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题． 9.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（

）．A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C【分析】设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，故选：C．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.则下列等式不能成立的是（

）A．

B．C．

D．

（其中）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知下列命题（其中a，b为直线，α为平面）：①若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线一定垂直于这个平面；③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；④若a⊥b，则过b有惟一α与a垂直．上述四个命题中，是真命题的有．（填序号）参考答案：③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故①错误；②垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，故②错误．若a∥α，b⊥α，则根据线面平行、垂直的性质，必有a⊥b．【解答】解：①平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，将“无数条”改为“所有”才正确；故①错误；②垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，有可能是平行、相交、线在面内，故②错误．③若a∥α，b⊥α，则根据线面平行、垂直的性质，必有a⊥b，正确；④若a⊥b，则过b有且只有一个平面与a垂直，显然正确．故答案为③④．12.等比数列的前项和为，且,则_________。参考答案：略13.若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为

．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．14.已知+=，-=，用、表示=

。参考答案：

15.过点P（-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________参考答案：略16.动点M与定点F(3,0)的距离比它到直线x+1=0的距离多2，则动点M的轨迹方程为______参考答案：略17.如图若执行下面伪代码时执行y←x2＋1，则输入的x的取值范围是

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数），点P(2,2).（Ⅰ）将曲线C的方程化为普通方程，并指出曲线C是哪一种曲线；（Ⅱ）直线l与曲线C交于点A，B，当时，求直线l的斜率..参考答案：（Ⅰ）曲线的普通方程是，曲线是圆.

……5分（Ⅱ）点满足：所以，即.因为，所以.从而.所以.故直线的斜率为.

……10分19.（本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为,(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值.参考答案：20.设复数，其中，，为虚数单位.若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值.参考答案：方程的根为.……………(4分)又在复平面内对应的点在第一象限，.……………(6分),

………………(8分)解得.又，.…………(11分)从而.………………………(13分)所以,.

……………(14分)21.（本小题满分12分）如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于，两个不同点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，

…………………1分

…………………2分

…………………3分所以，椭圆的方程为：

…………………4分（Ⅱ）法一：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知.①当直线的斜率不存在时，、分别为椭圆短轴的端点，不符合题意

…5分②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为：由得：

………6分令，得：

…………………7分设，则

………………8分又，

…………………9分

…………………10分

……………………11分直线的方程为：，即或所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：或

…………12分（Ⅱ）法二：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知，设直线的方程为：

………5分由得：

…6分令，得：

……7分设，则

……………8分又

……9分

……10分

……11分所求直线的方程为：，即或所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：或

…………………12分22.设函数f（x）=ex﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，根据f'（0）=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（2）得到g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣a（x+1），∴f′（x）=ex﹣a，∵f′（0