第九章+静电场

第九章静电场9.1电荷和库仑定律9.1.1电荷及其基本性质电量是物体所带电荷的量度，符号用q或Q表示，单位为库仑（C）。

1.电荷的量子性任何带电体的电量都是电子电量（-e）或质子电量（+e）的整数倍，即：q=±ne（e=1.6×10-19C）

2.电荷守恒定律在没有净电荷出入边界的系统中，电荷的代数和保持不变。

3.电荷的相对论不变性对于同一带电粒子，无论是处于静止还是处于不同的运动状态，其电量保持不变。9.1.2库仑定律和库仑力叠加原理9.1电荷和库仑定律

1.点电荷和试验电荷当一个带电体的线度比问题研究中涉及的距离小得多时，该带电体就可视为一个带电的点，成为点电荷。当被看做点电荷的带电体所带电量的绝对值非常小，且其自身的线度也非常小时，该带电体就被称为试验点和或检验电荷。

2.库仑定律点电荷之间存在着相互作用力，称为库仑力。实验表明：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，作用力的大小与电荷之积的绝对值成正比，与这两个点电荷之间的距离的平方成反比。这个规律叫做真空中的库仑定律。9.1电荷和库仑定律（真空中的介电常数）库仑定律标量形式：9.1电荷和库仑定律

3.库仑力的叠加原理在真空中，当几个点电荷同时存在时，作用于某一个点电荷上的库仑力等于各个点电荷单独存在时作用于该点电荷的库仑力的矢量和。++-9.1电荷和库仑定律一般情况下，一个点电荷系对点电荷q0的作用力可以表示为：任何带电体都可以看成是无限多个点电荷的集合。因此，一个带电体对点电荷q0的作用力可以表示为：9.1电荷和库仑定律电荷的线密度、面密度和体密度9.1电荷和库仑定律【典型例题1】求解点电荷所受的库仑力例1：3个点电荷的位置如图所示，其中q1=q2>0，相距为2a，q0<0，位于X轴上，求q0所受的库仑力。解：q0所受的库仑力为：9.1电荷和库仑定律例2、在边长为2cm的等边三角形的顶点上，分别放置电荷量为

、

和

的点电荷。（1）哪一个点电荷所受的力最大？（2）求作用在

q2

上力的大小和方向。答案：（1）f1=59.5N，f2=67.5N，f3=81.1N。q3受到的力最大。（2）f2=67.5N，方向沿着X轴方向。例3、在长为l带电量为q的均匀细杆的一端离端点为d处置一点电荷q0，求其所受的库仑力。解：细杆电荷线密度为：=q/l，在x处取线元dx，其电量为：dq=dx=qdx/l9.1电荷和库仑定律该电荷元到q0的距离为：r=l+d-x，q0受到该电荷元的库仑力为：例4、长为l带电量为q的均匀细杆，在杆的中垂线上距离为d处置一点电荷q0，求其所受的库仑力。9.1电荷和库仑定律解：根据对称性可知，点电荷收到的库仑力在X轴方向上为0。9.2

电场强度

电场：凡是有电荷的地方，四周就存在着某种特殊形式的物质，称为电场。

电场的基本性质是：对任何处在其中的其他电荷都施加力的作用，作用力的大小由库仑定律及库仑力的叠加原理决定，这种力称为电场力。

静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场称为静电场。9.2

电场强度9.2.1电场强度

（1）试验电荷q0处在点电荷q所产生的电场中的受力情况：是

q到q0的位置矢量，其中：9.2

电场强度

（2）试验电荷q0处在点电荷系（q1，q2，…，qn）所产生的电场中的受力情况：是

qi

到q0的位置矢量，其中：9.2

电场强度

（3）试验电荷q0处在带电体（Q）所产生的电场中的受力情况：是dq到q0的位置矢量，其中：9.2

电场强度

在任何电场中，试验电荷q0在电场中任一点p处收到的电场力均可表示为：

是由产生电场的电荷及场点p的位置所决定的物理量，它决定着试验电荷q0所受电场力的大小和方向，称为电场中p点处的电场强度。

与q0无关，若令q0=+1，则有：。由此可见，电场强度等于单位正电荷在电场中所受的电场力。电场强度是矢量，其单位为：牛顿·库仑-1（N·C-1）9.2

电场强度9.2.2电场强度的计算式

（1）点电荷的电场：

（2）点电荷系的电场：（3）带电体的电场：场强叠加原理：p点的总场强等于各点电荷在p点产生的场强的矢量和。9.2

电场强度【典型例题2】求解带电体的电场例1：计算电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任意一点的电场强度。表示从负电荷到正电荷的相对位置矢量，称为电偶极子的轴，定义电偶极矩（）是描述电偶极子自身特征的物理量。（1）电偶极子轴线的延长线上某点A(x,0)处的场强（x>>l）：9.2

电场强度（2）电偶极子中垂线上某点B(y,0)处的场强（y>>l）：9.2

电场强度例2：一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q（q>0），求圆环轴线上与圆心相距为x处的点P处的场强。解：在细环上取电荷元dq，该电荷元在P点激发的电场强度为：将沿垂直于轴线和平行于轴线两个方向分解，相应的分量为和。根据对称性，圆环上所有电荷在垂直于轴线方向上分量的矢量叠加为零，因而P点的场强只有轴向分量，即：相当于点电荷激发的电场9.2

电场强度例3：试计算均匀带电薄圆盘轴线上与盘心相距为x的任意一点P处的场强，设薄圆盘的半径为R，电荷面密度为。解：取半径为r，宽度为dr的圆环，其面积为2rdr，带电量为dq=2rdr，该圆环在P点激发的电场强度沿轴线方向，其大小为：9.2

电场强度相当于点电荷激发的电场无限大带电面激发的电场9.2

电场强度例4：设有一均匀带电的直导线，长度为b，带电量为q，如图所示的直角坐标系中，用表示带电直导线到线外一点P的垂直位矢，用1和2分别表示P点和导线两端的连线与x轴的夹角，求P点处的电场强度。解：直导线电荷线密度为：=q/b，在x处取线元dx，其电量为：dq=dx。该电荷元在P点激发的电场为：9.2

电场强度9.3

电场线9.3.1电场线

电场线：在电场中画出一系列假想的曲线，使得曲线上的每一点的切线方向与该点电场强度方向相同，这些假想的曲线称为电场线。

电场线密度：电场中某点的电场线密度定义为穿过某点附近与电场线垂直的单位面元的电场线条数。规定某点电场线密度与该点场强大小成正比。在电场中某点附近取一与电场线垂直的面元dS⊥，设穿过它的电场线数位dN，则电场线密度为dN/dS⊥。因此有：9.3

电场线9.3.2静电场电场线的性质性质1：静电场的电场线发自正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），在没有电荷的地方不中断（场强为零的奇异点——导体内除外）；性质2：电场线不构成闭合曲线；性质3：任何两条电场线不会相交。9.4

静电场的高斯定理9.4.1电通量有向面元（矢量）：通过有向面元的电通量（标量）：电通量在量值上等于通过电场中有向面元的电场线条数乘以+1或-1。电场线顺着方向通过电场线逆着方向通过9.4

静电场的高斯定理通过任意曲面的电通量：通过该曲面上各有向面元的电通量的代数和。通过闭合曲面的电通量：电通量单位：牛顿·米2·库仑-1（N·m2·C-1）例2：在点电荷q的电场中，以点电荷所在点O为球心作一半径为r的球面，求通过球面的电通量。9.4

静电场的高斯定理例1：在均匀电场中通过一个平面的电通量。9.4

静电场的高斯定理例3：在电荷线密度为

的长直导线的电场中，以长直导线为轴，做一半径为r，高度为a的圆柱面。该圆柱面的侧面及上下底面围成一个闭合面S，求通过S的电通量。解：因为圆柱面上下底面的法向法向与电场线方向垂直，因此通过圆柱面上下底面的电通量为0。9.4

静电场的高斯定理9.4.2静电场的高斯定理在真空中，对于任意静电场，通过任意封闭曲面S的电通量，等于该封闭曲面内所包围的总电荷量的1/0倍。（1）任意闭合曲面S叫做高斯面；（2）高斯定理表达式中电场是高斯面上面元处的场强，它是由全部电荷（包括面内和面外）共同产生的总场强，并非只是由封闭面内电荷产生的场强。（3）通过高斯面的电通量有正负之分，其正负只取决于封闭曲面所包围电荷量的代数和。（4）静电场的高斯定理说明静电场为有源场。9.4

静电场的高斯定理9.4.3高斯定理的应用举例【典型例题3】用高斯定理求解带电体的电场（1）根据电荷分布的对称性，利用场强叠加原理分析场强的方向和场强分布的对称性。（2）作一个合适的高斯面，求出高斯面内的总电荷qint。（3）应用高斯定理计算场强大小，继而给出矢量表达式。9.4

静电场的高斯定理例1：设在真空中有一均匀的带电球体，半径为R，带电总量为Q，求球面内外空间各点的场强。解：（1）根据对称性可知，带电球体场强具有球对称性。（2）求球外任意一点

P（r≥R）的场强。过P点作半径为r的同心球面S（高斯面），根据高斯定理可知：9.4

静电场的高斯定理（3）求球内任意一点P（r≤R）的场强。过P点作半径为r的同心球面S（高斯面），根据高斯定理可知：综上有：综上有：9.4

静电场的高斯定理例2：设在真空中有一均匀的带电球面，半径为R，带点总量为Q，求球面内外空间各点的场强。例3：设在真空中有一均匀的带电球壳，内半径为R1，外半径为R2，带点总量为Q，求空间各点的场强。9.4

静电场的高斯定理例4：求半径为R，电荷线密度为的无限长均匀带电圆柱面的电场。解：（1）根据对称性可知，带电球体场强具有柱对称性。（2）r<R时，E=0；（3）r>R时，取与带电柱面同轴的高为l的圆柱面为高斯面：综上有：9.4

静电场的高斯定理例5：求半径为R，电荷体密度为（=R2）的无限长均匀带电圆柱体的电场。例6：求电荷面密度为的无限大均匀带电平面的电场。解：（1）根据对称性可知，带电体场强具有面对称性。（2）取轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面为高斯面：9.5

静电场的环路定理9.5.1静电场的环路定理讨论点电荷Q的静电场作功问题：试探电荷q0从静电场中的A点沿任意路径运动到B点的过程中，静电力作功为：试探电荷q0在静电场中运动的过程中，电场力对q0作功只与其量值和运动路径的始末位置有关，而与其运动路径无关，这就是静电场的保守性（有势性）。9.5

静电场的环路定理讨论在任意静电场中，作一任意闭合路径L，考察沿该闭合路径移动单位正电荷过程中静电力所作的功：环流：静电场强的环路积分叫做静电场强沿闭合路径的环流。静电场的环路定理：静电场强的环流等于零：9.5

静电场的环路定理9.5.2电势差和电势试探电荷q0从静电场中的p点沿任一路径移动到p点的过程中，电场力对q0作功等于q0的电势能的减少量：

电势能（Wp）：试探电荷q0在p点的静电势能，选择p点为参考点，令Wp=0，则有（静电势能属于静电场与试探电共有）：9.5

静电场的环路定理

电势（Vp）：静电场中p点的电势，在数值上等于单位正电荷在该点的静电势能，也等于把单位正电荷从该点沿任一路径移动到电势参考点（与静电势能参考点相同）时静电力所作的功。

电势差（UAB）：静电场中任意两点A、B之间的电势之差（电压），等于把单位正电荷从A点沿任一路径移动到到B点时静电力所作的功。静电场中，将点电荷q从A点沿任一路径移动到B点，静电力作功：9.5

静电场的环路定理（1）电势构成标量场，电势差不构成标量场，对一点谈电势，对两点谈电势差；（2）可以由两点间的电势差正负号判断两点间的电势高低；（3）由于电势参考点选取的任意性，因此电势是一个相对量；但两点间的电势差是一个绝对量，与参考点的选取无关；（4）当电荷分布在有限区域时，一般将电势零点选在无穷远处，此时电场中某点A的电势为：（5）点电荷电场中，选无穷远处为电势零点，则距离点电荷q为r处的P点电势为：几点说明9.5

静电场的环路定理9.5.3电势的计算举例1.电势叠加原理

n个点电荷系的电场中，任意一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和，即：（1）电荷离散分布时，电势叠加原理表示为：（2）电荷连续分布时，电势叠加原理表示为：9.5

静电场的环路定理2.电势的计算方法（1）利用电势的定义式计算，适用于能用高斯定理计算场强的情形。首先要明确电势零点；其次是选一条合适的积分路径，求出积分路径上电场的分布函数；最后代入电势的定义式进行计算。（2）利用点电荷的电势公式结合电势叠加原理进行计算，适用于电荷分布在有限区域的实际情形。9.5

静电场的环路定理【典型例题4求带电体的电势】例1、计算电偶极子电场中任意一点的电势。9.5

静电场的环路定理例2、正电荷q均匀分布的半径为R的细圆环上，求圆环轴线上距环心为x的点P处的电势。解：在圆环上取电荷元dq，该电荷元在P点产生的电势为：相当于点电荷激发的电势9.5

静电场的环路定理另解：均匀带电细圆环轴线上的电场强度为：根据电势定义有：9.5

静电场的环路定理例3、在电荷面密度为的均匀分布的半径为R的圆盘上，求圆盘轴线上距盘心为x的点P处的电势。解：将圆盘分成一个个圆环，其中任一环的半径为r，宽度为dr，带电量为：该环在P点产生电势为：积分可得圆盘在P点产生的电势为：9.5

静电场的环路定理另解：均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度为：根据电势定义有：9.5

静电场的环路定理相当于点电荷激发的电势另解：9.5

静电场的环路定理当R→时，带电平面将延伸到无限远，不能取无限远处为电势零点。由于无限大平面在空间激发的电场为匀强电场，故选空间某点P(x)处为电势参考点，有：由此可见：在静电场中，电势是相对的，而电势差有绝对意义，沿着电场线方向电势降低。9.5

静电场的环路定理例4、求无限长均匀带电直导线电场中的电势，设电荷线密度为。解：由于无限