广东省梅州市平安中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

广东省梅州市平安中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角的终边经过点，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，再利用诱导公式求.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设等差数列的前项和为

、是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．参考答案：D考点：等差数列试题解析：由题知：所以在等差数列中，故答案为：D3.椭圆+=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得a，b，结合隐含条件求得c，则椭圆离心率可求．【解答】解：由+=1，得a2=16，b2=9，∴a=4，，则e=．故选：A．4.正四面体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.如图所示，由函数与函数在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知向量，若，则最小值（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D8.函数的零点所在的大致范围是

（

）A．（1,2）

B．（2,3）

C．（，1）和（3,4）

D．（e，+）参考答案：B9.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C10.（5分）（2015?澄海区校级二模）已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列命题中，真命题的是（）A．若l∥α，且l∥β，则α∥βB．若l⊥α．且l⊥β，则α∥βC．若lα，且α⊥β，则l⊥βD．若l∥α，且α∥β，则l∥β参考答案：【考点】：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】：规律型．【分析】：对于A，若l∥α，且l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，即若l⊥α．且l⊥β，则α∥β对；对于C，若lα，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l?β，所以C错；对于D，若l∥α，且α∥β则l∥β或lβ，所以D错．解：对于A，若l∥α，且l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，即若l⊥α．且l⊥β，则α∥β对；对于C，若lα，α⊥β，则l⊥β或l∥β或lβ，所以C错；对于D，若l∥α，且α∥β则l∥β或lβ，所以D错故选B．【点评】：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为

．参考答案：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）考点：归纳推理．分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案．解答： 解：∵1=1=（﹣1）1+1?11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1?（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1?（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1?（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12.已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角

．参考答案：因为，所以，即，所以，所以.又，所以根据正弦定理得，即，所以，即，所以，所以.13.已知函数，则，则a的取值范围是

。参考答案：14.已知直线l：ax+2by+3c=0和两定点A（0，13），B（5，10），若点B在l上的射影为C，且a，2b，3c成等差数列，则|AC|的取值范围为．参考答案：[，5]【考点】数列与解析几何的综合．【分析】运用等差数列中项的性质，结合直线方程可得直线恒过定点（1，﹣2），讨论直线l的斜率不存在和为0，求得C的坐标，运用两点的距离公式，即可得到所求最值，进而得到所求范围．【解答】解：a，2b，3c成等差数列，可得a﹣4b+3c=0，即有直线l：ax+2by+3c=0恒过定点P（1，﹣2），若点B在l上的射影为C，当直线l的斜率不存在，即方程为x=1，可得C（1，10），|AC|取得最小值为=；当直线l的斜率为0，即方程为y=﹣2，可得C（5，﹣2），|AC|取得最大值为=5．则|AC、的取值范围是[，5]．故答案为：[，5]．15.已知函数，则=________。参考答案：略16.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________(填，，)

．参考答案：去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，，所以。17.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13=．参考答案：50考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案为：50．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=2x+2ax+b且f（﹣1）=，f（0）=2．（1）求a，b的值；判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由已知中f（﹣1）=，f（0）=2，构造方程求出a，b的值，进而根据奇偶性的定义，可得结论；（2）证法一：设x1，x2是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得结论；证法二：求导，根据x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，求出f（x）=的值域，可得答案．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=，f（0）=2．∴+2﹣a+b=，1+2b=2，解得：a=﹣1，b=0，∴f（x）=2x+2﹣x；函数的定义域为R，且f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），故函数为偶函数，（2）证法一：设x1，x2是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，于是f（x2）﹣f（x1）=（）﹣（）=（）．因为x2＞x1＞0，所以，，，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．证法二：∵f（x）=2x+2﹣x．∴f′（x）=ln2?（2x+2﹣x）．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，令f（x）==，则f（x）∈[，]，故m∈[，]．19.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)．（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，|f(x)|≤2b+恒成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出关于a，b的不等式组，令z=3a+b，问题转化为简单的线性规划问题；结合图象求出即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的范围，要证，只需证即可．【解答】（1）解：f'（x）=x2+ax+b，由已知可得f'（x）=0在（0，2）上存在两个不同的零点，故有，即，令z=3a+b，如图所示：由图可知﹣8＜z＜0，故3a+b的取值范围（﹣8，0）．（2）证明：，所以f'（x）=x2+b，当b≥0时，f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，则f（x）在[0，2]上单调递增，故，所以；当﹣1≤b＜0时，由f'（x）=0，解得，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．因为，要证，只需证，即证，因为﹣1≤b＜0，所以，所以成立．综上所述，对任意的实数恒成立．20.（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为P，且,求实数的取值范围.参考答案：（1）令，解得；令，解得………3分从而在内单调递减，内单调递增.所以，当时取得最小值.

………5分（2）因为不等式的解集为P，且，所以，对任意的，不等式恒成立，

………6分由得.当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.

………7分将变形得

………8分令，令，解得；令，解得

………10分从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而所求实数的取值范围是.………12分21.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为，的方程为，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求C1与C2的极坐标方程；（2）若C1与C3的一个公共点A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求的取值范围.参考答案：（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为（2）【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设的极坐标方程为，，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，的方程为，其极坐标力程为.（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，联立与的极坐标方程，得，即，联立与的极坐标方程，得，即，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.22.已知函数.（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）参考答案：解：（Ⅰ），，

……………2分由得，

……3分所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

………………4分所以，是函数的极小值点，极大值点不存在.

…5分（Ⅱ）设切点坐标为，则，

…………6分切线的斜率为，所以，，

…7分解得，，

……………8分所以直线的方程为.