广东省揭阳市新华中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省揭阳市新华中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面向量,满足，，且，则与的夹角为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.如图是一个程序框图，则输出的值是（

）A．5

B．7

C．9

D．11参考答案：C试题分析：考点：程序框图．3.若集合A＝，B＝，则AB＝

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.函数的图象大致为参考答案：C5.已知数列{an}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2 B．2π C．π D．4π2参考答案：A【考点】等比数列的性质；定积分．【专题】等差数列与等比数列．【分析】求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016=+2a2013?a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．6.若复数，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知，则的取值范围是（A）

(B)

（C）

（D）参考答案：B8.在抛物线上取横坐标为,的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是A.(-2,-9)

B.(0,-5)

C.(2,-9)

D.(1,-6)参考答案：9.已知集合，，那么（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.下列命题是真命题的是（

）

A．“若是等比数列，则”的逆命题

B．“平行于同一条直线的两条直线平行，若∥，∥，则∥”这是一个三段论

C．D．“向量参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量的夹角为锐角，则实数的取值范围是参考答案：12.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：13.在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，sinA=．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】利用余弦定理可得c，cosA，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：c2=12+22﹣=4，解得c=2．∴cosA===，又A∈（0，π），∴sinA===．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为

。参考答案：15.函数f（x）=x3+x2﹣6x+m的图象不过第Ⅱ象限，则m的取值范围是____参考答案：16.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．分析：连结AD1、AP，由AD1∥BC1，得∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，由此能求出D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值．解：连结AD1、AP，∵AD1∥BC1，∴∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，设AB=2，则AP=D1P=，AD1=，∴cos∠AD1P===．∴D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．17.若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为

．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．参考答案：

（1）证明：连结，．

在中，是,的中点，．

又平面，平面．

-------4分

（2）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系

设平面A1B1C1的法向量为

令，则

平面A1B1C…………9分

（3）平面MB1C的法向量为

令

所求二面角M—B1C—A1的余弦值为……14分略19.Sn为数列{an}的前n项和，，且.(I)求数列{an}的通项公式:(Ⅱ)设，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：解:(I)由

①得

②②-①得整理得(Ⅱ)由可知则20.将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？参考答案：（1）设所得圆柱的半径为dm，

则，

……4分

解得．

……6分

（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，

则即

……9分

方法一：

所得正四棱柱的体积

……11分

记函数

则在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，．

所以当，时，dm3．

……14分

方法二：

，从而．

……11分

所得正四棱柱的体积．

所以当，时，dm3．

……14分答：（1）圆柱的底面半径为dm；

（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．

……16分【评分说明】①直接“由得，时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法一中的求解过程要体现，凡写成的最多得5分，

其它类似解答参照给分．21.（12分）已知数列满足.（Ⅰ）证明数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和.

参考答案：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，又因为，所以.所以数列是首项为2，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，所以.（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，，所以

，

①①得

②②—①得

=.

解析：本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.

22.（本题满分15分）已知函数f(x)=(x–)e－x（x≥）．（Ⅰ）求f(x)的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间[，+