高中数学苏教版第一章立体几何初步学业分层测评5

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的有__________(填序号)．①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．【解析】①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.【答案】③2．如图1­2­23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.图1­2­23【解析】连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，eq\f(AM,AE)＝eq\f(MN,EF)＝eq\f(2,3)，∴EF＝eq\f(3,2)×6＝9，∴BD＝2EF＝18.【答案】183．如图1­2­24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．①②③④图1­2­24【解析】①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．【答案】②④4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.【导学号：60420238】【解析】易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．【答案】矩形5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．【解析】l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．【答案】无数6．如图1­2­25，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________图1­2­25【解析】因四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1【答案】∠D1DC，∠D1C1C，∠A17．如图1­2­26，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是图1­2­26①CC1与B1E是异面直线；②C1C与AE③AE，B1C1④AE与B1C1【解析】CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故【答案】③8．如图1­2­27，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________图1­2­27【解析】连结AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．【答案】4二、解答题9．如图1­2­28，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B图1­2­28【证明】如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1，∴EQeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q.又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Qeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF.又∵B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q，∴B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．如图1­2­29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．图1­2­29【解】因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.[能力提升]1．一个正方体纸盒展开后如图1­2­30，在原正方体纸盒中有下列结论：图1­2­30①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．【解析】把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．【答案】①③2．如图1­2­31，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C图1­2­31【解析】如图，连结BC1，A1B.∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C【答案】60°3．如图1­2­32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．图1­2­32【解析】如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).【答案】eq\f(\r(10),10)4．如图1­2­33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3).图1­2­33(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值.【导学号：60420239】【解】(1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴