第二章多变量最优化

数学建模方法与分析第2章多变量的最优化2.1无约束最优化最简单的多变量最优化问题是在一个比较好的区域上求一个可微的多元函数的最大值或最小值。我们在后面会看到，当求最优值的区域比较复杂时，问题就会变得复杂。问题1：一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？2.1五步法1.提出问题2.选择建模方法3.推导模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题1.提出问题-变量问题1中的全部变量包括：s=19英寸彩电的售出数量（台）；t=21英寸彩电的售出数量（台）；p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）；q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）；C=生产彩电的成本（美元）；R=彩电销售的收入（美元）；P=彩电销售的利润（美元）。1.提出问题-变量问题1中的全部变量包括：s=19英寸彩电的售出数量（台）；t=21英寸彩电的售出数量（台）；p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）；q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）；C=生产彩电的成本（美元）；R=彩电销售的收入（美元）；P=彩电销售的利润（美元）。1.提出问题-常量问题1中的全部常量包括：1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元；2.其对应的成本分别为：195美元和225美元；3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元；4.固定成本为400000美元。1.提出问题-变量间相互关系确定假设

1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分,用a表示（即价格弹性系数a=0.01美元/台）。

2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。变量间关系因此，19英寸彩电的销售价格为：

p=339-a×s-0.003×t，此处a=0.011.提出问题-变量间相互关系确定21英寸彩电的销售价格为：

q=399-0.01×t-0.004×s因此，总的销售收入为：

R=p×s+q×t生产成本为：

C=400000+195×s+225×t净利润为：

P=R-C因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得y=P取得最大值。2.选择建模方法概述选定的建模方法这个问题我们视为无约束的多变量最优化问题。这类问题通常在多元微积分得入门课程中都有介绍。我们这里只给出模型的要点和一般的求解过程。2.选择建模方法给定定义在n维空间的子集S上的函数。我们要求在集合S上的最大值或最小值。一个定理给出：若在S的某个点内达到极大值或极小值，设在这点可微，则在这个点上。也就是说，在极值点有

（2-1）

据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内部使的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、n个方程的联立方程组。然后我们还要检查S的边界上的点,以及那些一个或多个偏导数没有定义的点。3.推导模型的数学表达式

由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：4.利用第二步确定的标准过程求解

第四步中的计算有点繁琐，这种情况下，可以采用计算机代数系统来进行所需的计算。计算机代数系统可以求导数、求积分、解方程组、化简代数表达式。大多数的软件还可以进行矩阵运算、画图、求解微分方程组。利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它可以提高效率，结果更准确。4.利用第二步确定的标准过程求解图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面，其最高点为方程组的唯一解。图2.1彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和21英寸彩电的生产量t的3维图象图2.2彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图5.回答第一步中提出的问题简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元。

19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示有利可图，因此建议公司推出新产品。2.2灵敏性分析由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们只考虑a的微小变化对这两个的影响.2.2灵敏性分析1）产量对a的灵敏性分析

在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面利润的公式中，我们得到：令y关于x1，x2的偏导数为零，则：

（2-2）2.2灵敏性分析

图2.3,2.4画出了x1(a)，x2(a)关于a的曲线图。由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致19英寸彩电的最优生产量x1的下降，及21英寸彩电的最优生产量x2的提高。图2.5x1关于a的灵敏性曲线图2.6x2关于a的灵敏性曲线灵敏性分析可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a的灵敏性记作,定义为当a=0.01时有：同理可得：

如果19英寸彩电的价格弹性系数在0.01美元/台的基础上提高10%，则我们应该将19英寸彩电的生产量在4735台上缩小11%，21英寸彩电的生产量在7043台上扩大2.7%。灵敏性分析2）利润对a的灵敏性分析

19英寸彩电的价格弹性系数的变化会对利润造成什么影响？直接把（2-2）带入利润的表达式，得

（2-3）2.2灵敏性分析图2.7画出了y关于a的曲线图。由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致利润的下降。而当a=0.01时有：

说明当19英寸彩电的价格弹性系数a提高10%时，利润P只减少4%，a的微小变化对模型结果(利润)的影响很小。图2.7利润关于a的灵敏性灵敏性分析在计算dy/da除了前面直接对(2-3)式的单变量求导外，还可以利用多变量函数的链式法则：由于在极值点都为零，则有这样可直接得到dy/da，进而求出.(2-4)式中的：有其实际意义

灵敏性分析导数dy/da中的这一部分代表了最优生产量x1和x2的变化对利润的影响。其和为零说明了生产量的微小变化对利润几乎没有什么影响。从几何上看，由于y(x1,x2)在极值点是平的，x1和x2的微小变化对y几乎没有什么影响。所以19英寸彩电的价格弹性系数10%的提高而导致的最优利润的下降几乎全部是由售价的改变引起的。因此我们的模型给出的生产量几乎是最优的.灵敏性分析例如：设a=0.01,但实际的价格弹性系数比它高出了10%.我们用原来算出的最优生产量(4735,7043),与a=0.011算出的最优生产量(4251,7212)相比，我们会少生产出11%的19英寸彩电,而多生产约3%的21英寸彩电.而且利润也会比最优值低4%.

但我们仍采用该模型的结果实际会损失什么呢？采用原来算出的最优生产量(4735,7043),会得到利润为531219美元，而采用现在算出的最优生产量(4251,7212)会得到最优利润为533514美元。因此，采用我们模型的结果，虽然现在的生产量与最优生产量有相当的差距，但获得的利润仅仅比可能的最优利润损失了0.43%。在这意义下，我们的模型显示了非常好的稳健性。2.2拉格朗日乘子本节我们开始讨论具有更复杂结构的最优化问题。我们在上一节开始就提到，当寻找最优解的集合变得复杂时，多变量最优化问题的求解就会复杂化。在实际问题中，由于存在着对独立变量的限制条件，是我们不得不考虑这些更复杂的模型。问题2：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产电视所需要的电路板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？2.1五步法1.提出问题2.选择建模方法3.推导模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题1.提出问题-变量这里涉及的变量和问题１相同：s：19英寸彩电的售出数量（台）；t：21英寸彩电的售出数量（台）；p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；C：生产彩电的成本（美元）；R：彩电销售的收入（美元）；P：彩电销售的利润（美元）1.提出问题-常量这里涉及的常量同问题１：两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元；每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。1.提出问题-变量间相互关系确定假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制

假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即；假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。1.提出问题-变量间相互关系确定因此，19英寸彩电的销售价格为：p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.0121英寸彩电的销售价格为：q=399-0.01×t-0.04×s因此，总的销售收入为：R=p×s+q×t生产成本为：C=400000+195×s+225×t净利润为：P=R-C2.选择建模方法概述选定的建模方法这个问题的模型为有约束的多变量最优化问题，我们利用拉格朗日乘子法来求解。

给定一个函数及一组约束。我们这里假设这些约束可以用k个等式表示：2.选择建模方法我们的目标是在集合上对求最大值。一个定理保证了在极值点，一定有

这里称为拉格朗日乘子。定理假设是线性无关向量。为了求出f在集合S上的极大或极小值点，我们要一起求解关于变量和的n个拉格朗日乘子方程2.选择建模方法及k个约束方程：这里我们还要检查那些不满足梯度向量线性无关的异常点3.推导模型的数学表达式

由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：其中a=0.01.4.求解模型求解方法----Lagrange乘子法

这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange乘子法求解。

第1步：确定目标函数y(x1,x2)的可行域S目标函数y(x1,x2)的可行域S（见图2.10）为：图2.10目标函数的可行域图4.求解模型第2步：计算

在可行域S的内部，，因此，最大值一定在边界上达到。第3步：计算边界上的极大值由于可行域由5条直线围成，因此需要分别计算y(x1,x2)在每一条边界线段上的极大值，下面分别计算，重点介绍如何计算y(x1,x2)在直线上的最大值。

4.求解模型（1）y(x1,x2)在约束直线上的极大值此时，需要求解问题其Lagrange乘子方程为，即与约束方程

联立求解，得到代入目标函数P(s,t)可得极大值为4.求解模型图2.7给出了可行域以及y(x1,x2)的水平集图像。水平集y(x1,x2)=C为一簇同心环，这些环与可行域相交，水平集y(x1,x2)=532308为最小的环。这个集合刚刚接触到可行域S，且与直线在极值点相切。由图2.7还可以看出，利用Lagrange乘子法在约束直线上找到的临界点就是y(x1,x2)在整个可行域上的最大值。图2.11可行域及水平集图4.求解模型（2）y(x1,x2)在其它约束直线上的极大值采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对P(s,t)的极大值点，结果如下：直线段：极大值点（5000，5000），极值为515000美元直线段：极大值点（2000，8000），极值为488000美元直线段：极大值点（0，8000），极值为352000美元；直线段：极大值点（5000，0），极值为70000美元。第4步：比较边界极大值，求出最大值点比较函数y(x1,x2)在区域S的五段边界直线上的最大值，可得到y(x1,x2)在区域上的最大值为532308美元，在点(3846,6154)处取得。5.结果解释公司为获得做大利润应生产3846台19英寸彩电和6154台21英寸彩电，从而每年的总生产量为10000台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。能够供应的电路板的资源限制不是关键的。这样可以得到预计每年532308美元的利润。2.3灵敏性分析与影子价格我们先讨论19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性，即售出量s,t和利润P关于a的灵敏性，然后讨论最优产量s,t，利润P对可利用生产能力c=10000台的灵敏性。弹性系数a的灵敏性分析仍利用Lagrange方法来求解该问题。Lagrange乘子方程为

即，

与约束方程联立求解，得到弹性系数a的灵敏性分析计算可得从而在点s=3846，t=6154,a=0.01处，有将x1,x2代入f(x1,x2)，经过计算可得弹性系数a的灵敏性分析代入数据a=0.01,y(3846,6154)=532308，可得弹性系数a的灵敏性分析我们可以得到：如果19英寸彩电的价格弹性系数a增加，我们要将一部分19英寸彩电的生产量转为生产21英寸彩电；如果这一系数减少，我们则要多生产一些19英寸的彩电，少生产一些21英寸的彩电。在任一种情况下，只要(x1,x2)落在其他约束直线之间（0.007≤a≤0.022），总是可以生产总量为10000台的彩电。弹性系数a的灵敏性分析我们可以得出结论：如果19英寸彩电的价格弹性系数a增加，将会导致利润P下降。（同样的，与无约束问题相同），而且几乎所有的利润损失都是由19英寸彩电的销售价格的降低所导致的。而且通过计算表明，如果a=0.011，即使用s=3846，t=6154来代替由（2.5）式确定的新的最优解，也不会有太大的利润损失。梯度向量

指向目标函数值机利润增加最快的方向。现在即使不在最优点出，但是从最优值点到（3846，6154）的方向