信号分析基础2课件

第三节瞬变非周期信号与连续频谱准周期信号：由一系列频率比为无理数的正弦波组成，其频率谱为离散的，但不满足谐波性.

这种信号称为准周期信号。

例如：2.瞬变信号及傅立叶变换：信号出现的时间是有限的，或随时间趋于无穷信号是收敛的。在信号出现的期间，信号不呈现周期性。非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。如电容的放电过程，对这种信号沿时间轴积分，其积分值存在，它所携带的能量也是有限值，故称能量有限信号。对于周期信号我们可以借助于傅立叶级数完成从时域到频域的转换，而非周期性信号不具有周期性，不能使用傅立叶级数进行频谱分析。我们可以从周期函数的傅立叶级数取T→∞时的极限入手，对于周期信号：

∵频线间隔：

∴当T0→∞时，Δω→0，成为dw,

nw０变成连续变量，求和符号成为积分符号，上式变为：式中：我们将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数的傅立叶变换相比较，看出两点不同：1．周期函数中所包含的频率成分，是基频ω0的整倍数。而非周期函数中包含了一系列从0到无穷大的所有频率成分，ω是连续变量。2．周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率成分幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换F(ω)反映的是单位频率宽度上的振幅。所以又称F(ω)为频谱密度函数。一般的说，X(ω)是个复数

幅值谱密度

相位谱密度

①幅度频谱

相位频谱②例：求矩形脉冲的傅氏变换

解：

小结１、周期信号从时域描述到频域描述采用的是傅立叶级数，非周期信号从时域描述转换到频域描述采用的是傅立叶变换。２、非周期信号幅值频谱的量纲是单位频率宽度上的幅值，在周期信号傅立叶级数展开式中，函数ej2πft的系数幅值｜Cn|具有与原信号幅值相同的量纲。非周期信号的表达式中，函数ej2πft的系数是｜X(f)|df，若｜X(f)|可以看成是｜X(f)|df／df，则X(f)的物理意义是非周期信号单位频带宽上的幅值，具有密度的函数，所以称F(f)为原信号的频谱密度函数，它的量纲就是信号的幅值与频率之比。傅立叶变换的主要性质

一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系。熟悉傅里叶变换的主要性质，有助于了解信号在某个域中的变化和运算将在另一域中产生何种相应的变化和运算关系，最终有助于对复杂工程问题的分析和简化计算工作。（一）奇偶虚实性如果x(t)为实偶函数，则：如果x(t)为实奇函数，则：例1求双边指数信号的频谱(>0)t解:

例2求奇对称指数信号的频谱解:（二）对称性以-t代替t得将t与f互换，即得X（t）的傅立叶变换为所以证明：例3求傅立叶变换解：（三）时间尺度改变特性证明：

若k>1,则波形压缩，若0<k<1,则波形展宽。若k<0,则波形反折并压缩或展宽。信号在时域压缩k倍，信号随时间变化加快k倍，所以它包含的频率分量增加k倍，即频谱宽了k倍。根据能量守恒原理，各频率分量的大小必须减小k倍。性质3结论：信号x(kt)表示信号x(t)在时间上压缩了k倍，相似的，信号X(f/k)表示信号X(f)在频域中扩展了k倍。这一性质说明了信号在时域中的压缩导致了在频域中的频谱的扩展，反之，在时域中的扩展相应地导致了频域中频谱的压缩。尺度变换意味着信号在时域中越宽，则其频谱越窄，反之亦然。即信号与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传递信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价。（四）时移和频移特性时移特性

很显然，信号在时域平移，相当于信号中各个频率成分产生了相移，所以频谱中应反映出相移的大小。例4已知单矩形脉冲,求三脉冲信号的频谱解：例5已知信号f(t)的频谱函数如图所示，试求信号a(t)=f(t)cosw0t的频谱函数。(w0>wM)解：（五）卷积特性两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为：记作：若：则：积分特性的证明令两边求导FT微分特性FT积分特性几种典型信号的频谱公式：频谱：一、矩形窗函数的频谱一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在信号中截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得频谱将是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。从其频谱图上可以看到，在f=0~±1/T之间的谱峰,幅值最大,称为主瓣.两侧其他各谱峰的峰值较低,称为旁瓣.主瓣宽度为2/T,与时域窗宽度T成反比.可见时域窗宽T越大,即截取信号时长越长,主瓣宽度越小.（二）函数及其频谱（1）函数的定义：在时间内激发一个矩形脉冲S(t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当

0时（t）的极限就称为函数，记作（t）。函数也称为单位脉冲函数。（t）的特点有：从函数值极限角度看：从面积（通常也称其为

函数的强度）的角度来看：且

---称之为δ函数。

用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为K的脉冲用kδ(t)表示。δ(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于原点，表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于 t=t0点，则可定义δ函数的延迟为：，积分值仍为1。

2、

函数及其频谱（1）

函数的定义：在时间内激发一个矩形脉冲S(t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当

0时（t）的极限就称为函数，记作（t）。

函数也称为单位脉冲函数。（t）的特点有：从函数值极限角度看：从面积（通常也称其为

函数的强度）的角度来看：且

---称之为δ函数。

定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为E的脉冲用Eδ(t)表示。δ(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于原点，表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于t=t0点，则可定义δ函数的延迟为：，积分值仍为1。

（2）函数的采样性质：如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0)(t)，其余各点（t0）之乘积均为零。如果函数与某一连续函数f(t)相乘，并在（，－）区间中积分，则有：对于有延时t0的函数

(t－t0)，则有：由于经过此种处理，可将f(t)在任何时刻的值提取出来，所以称其为筛选性质，或抽样性质。当对信号进行采样时，采样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述.（3）

函数的与其他函数的卷积：任何函数和函数

(t)的卷积是一种最简单的卷积积分。例如，一个矩形函数x(t)与

函数

(t)的卷积为:x(t)函数和δ函数的卷积的结果，就是在发生δ函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。（4）函数的频谱这说明δ函数的频谱密度是常数1，即δ函数是各种等强度的各种频率成分所组成的。1故知时域的函数具有无限宽广的频谱，而且在所有的频段上都是等强度的，即频谱密度在整个频率轴上处处为１，这种频谱常称为“均匀谱”。由脉冲函数的定义不难看出，理想的脉冲函数是不可能实现的．然而，与脉冲函数类似，具有很小脉宽的脉冲函数在实际生活中却比比皆是，例如，力学中瞬间作用的冲击力，电学中的脉冲电击，数字通讯信号采样的抽样脉冲等等．实际上，脉冲函数的概念正是以这些实际问题为背景引出的．

3、周期函数的傅立叶变换从严格的数学意义上讲，一个函数傅立叶变换存在的条件是其在无限区间内满足绝对可积条件，即

显然，周期函数不满足上述条件，然而，由于脉冲函数的引入，在有些情况下绝对可积并不是傅立叶变换存在的必要条件。比如，直流信号就不满足绝对可积条件，但它的傅立叶变换存在，等于一个频域脉冲函数Eδ(f)。由此可以预料，周期函数的傅立叶变换也是存在的。而且由于周期函数频谱的离散性，它的傅立叶变换必定由频域脉冲函数所组成。

简谐函数的频谱密度函数由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅里叶变换，而需在傅里叶变换时引如

函数：例：已知f(t)=cos(4t+π/3),试求其频谱F(w).解：因为利用频移性质可得于是４、周期单位脉冲序列的频谱等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示：其频谱为其FS为周期脉冲序列的频谱依然是一个周期脉冲序列，只是周期为1/Ts,脉冲强度为1/Ts第四节随机信号在工程测量时，通常用幅值随时间变化的函数关系来测量，y=f(t)

随机信号：无法用明确的数学关系式来描述，具有不确定性和事先不可预知性。

虽然这样，不能用时间的确定函数来描述，但都能用概率论和数理统计的方法来描述。对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样本，所有可能样本的集合称之为总体。总体描述了一个随机过程。比如：对每日气温的观测，地球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单位来进行分析。每天的观测构成一个样本函数。.随机过程及其描述随机过程：

总体平均值：

总体自相关函数：

由同一试验条件下所有样本函数的集合（总体）才能定义一个物理现象的随机过程。t的函数若ux(t)=ux（常值）,则：

这也就是说，该随机过程的观测时间起点可以是任意的，其统计特性不随观测时间起点的改变而改变，这样的随机过程称作平稳随机过程。（非平稳随机过程）

若对平稳随机过程的某一个样本进行分析，可求出该样本的平均值及自相关函数。

k表示第k个样本。

若

则称该过程是各态历经的。各态历经随机过程中任一样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。对于各态历经的随机过程，我们可以在任一时刻取任意一个样本进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有各态历经性质。对于各态历经的随机过程，可以用三方面进行描述。

①幅值域：

,概率密度，联合概率密度。

②时间域：自相关，互相关函数等。二.幅值域描述1．平均值：

――直流分量

③频率域：自功率谱，互功率谱，相干函数等。2．方差：

――波动程度3．均方值：

――信号的强度或平均功率4．概率密度函数：描述某一时刻随机数据落在给定区间的概率。说明：反映了在振幅这个位置单位振幅内的概率，即概率随振幅的变化率。振幅不同，落在单位振幅内的概率不同。x(t)的瞬时值落在某一个区间内的概率是几种随机信号的概率密度函数a）正弦信号（初始相角为随机量）b）正弦信号加随机噪声c）窄带随机信号d）宽带随机信号三.样本函数、参数估计和统计采样误差实际上只能从随机信号中截取有限时间的样本记录来计算出相应的特征参数，并用他