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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年陕西航空职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.若f(x)=x2,则对任意实数x1,x2,下列不等式总成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A2.对于空间中的三个向量,
,
,它们一定是()
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.以上均不对答案:A3.若a>0,使不等式|x-4|+|x-3|<a在R上的解集不是空集的a的取值是()
A.0<a<1
B.a=1
C.a>1
D.以上均不对答案:C4.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,F(0,-5)为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为()
A.
B.
C.
D.答案:B5.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),则(a-b)•(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)•(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故为-4.6.向量a=i+
2j在向量b=3i+4j上的投影是______.答案:根据投影的定义可得:a在b方向上的投影为:|a|cos<a,b>=a?b|b|=1×3+2×452=115.故为:115.7.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i(i是虚数单位),则p+q的值是()
A.-1
B.0
C.2
D.-2答案:B8.P在⊙O外,PC切⊙O于C,PAB交⊙O于A、B,则()
A.∠PCB=∠B
B.∠PAC=∠P
C.∠PCA=∠B
D.∠PAC=∠BCA答案:C9.已知函数f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),则f(log23)=______.答案:因为1<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故为:24.10.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是(
)
A.(0,1)
B.
C.
D.答案:C11.下列命题中,错误的是()
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交答案:A12.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若<n1,n2>=,则二面角A-BD-C的大小为()
A.
B.
C.或
D.或答案:C13.下列命题中,正确的是()
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c答案:D14.两个样本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么样本甲比样本乙波动()
A.大
B.相等
C.小
D.无法确定答案:A15.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案:证明:一方面,∵ax=b,且a≠0,方程两边同除以a得:x=ba,∴方程ax=b有一个根x=ba,另一方面,假设方程ax=b还有一个根x0且x0≠ba,则由此不等式两边同乘以a得ax0≠b,这与假设矛盾,故方程ax=b只有一个根.综上所述,方程ax=b有且只有一个根.16.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x,那么x的值的个数为()
A.1个
B.2个
C.2个以上但有限
D.无数个答案:B17.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)18.(坐标系与参数方程选做题)
直线x=-2+ty=1-t(t为参数)被圆x=3+5cosθy=-1+5sinθ(θ为参数,θ∈[0,2π))所截得的弦长为______.答案:直线和圆的参数方程化为普通方程得x+y+1=0,(x-3)2+(y+1)2=25,于是弦心距d=322,弦长l=225-92=82.故为:8219.已知方程x2-(k2-9)x+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,求实数k的取值范围.答案:令f(x)=x2-(k2-9)x+k2-5k+6,则∵方程x2-(k2-9)x+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,∴f(1)<0
且f(2)<0,∴12-(k2-9)+k2-5k+6<0且22-2(k2-9)+k2-5k+6<0,即16-5k<0且k2+5k-28>0,解得k>137-52.20.如图,四条直线互相平行,且相邻两条平行线的距离均为h,一直正方形的4个顶点分别在四条直线上,则正方形的面积为()
A.4h2
B.5h2
C.4h2
D.5h2
答案:B21.如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2,若△AEF的面积等于1cm2,则△CDF的面积等于______cm2.答案:平行四边形ABCD中,有△AEF~△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方,∵AE:EB=1:2,∴AE:CD=1:3∵△AEF的面积等于1cm2,∴∵△CDF的面积等于9cm2故为:922.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是
______答案:AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2),cos<AB,CA>=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14•14=-714=-12,∴θ=<AB,CA>=120°.故为120°23.下列赋值语句中正确的是()
A.m+n=3
B.3=i
C.i=i2+1
D.i=j=3答案:C24.若一元二次方程x2+(a-1)x+1-a2=0有两个正实数根,则a的取值范围是(
)
A.(-1,1)
B.(-∞,)∪[1,+∞)
C.(-1,]
D.[,1)答案:C25.根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.
(1)画出执行该问题的程序框图;
(2)以下是解决该问题的一个程序,但有几处错误,请找出错误并予以更正.
i=1S=1n=0DO
S<=500
S=S+i
i=i+1
n=n+1WENDPRINT
n+1END.答案:(1)程序框图如左图所示.或者,如右图所示:(2)①DO应改为WHILE;
②PRINT
n+1
应改为PRINT
n;
③S=1应改为S=0.26.若两条平行线L1:x-y+1=0,与L2:3x+ay-c=0
(c>0)之间的距离为,则等于()
A.-2
B.-6
C..2
D.0答案:A27.已知2a=3b=6c则有()
A.∈(2,3)
B.∈(3,4)
C.∈(4,5)
D.∈(5,6)答案:C28.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=______;答案:由题意知ξ的取值有0,1,2,当ξ=0时,即A邮箱的信件数为0,由分步计数原理知两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,共有3×3种结果,而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2,由古典概型公式得到ξ=0时的概率,同理可得ξ=1时,ξ=2时,ξ=3时的概率p(ξ=0)=2×29=49,p(ξ=1)=C12C129=49,p(ξ=2)=19,∴Eξ=0×49+1×49+2×19=23故为:23.29.参数方程表示什么曲线?答案:见解析解析:解:显然,则即得,即30.如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.2答案:C31.设i为虚数单位,若(x+i)(1-i)=y,则实数x,y满足()
A.x=-1,y=1
B.x=-1,y=2
C.x=1,y=2
D.x=1,y=1答案:C32.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是[
]
A.4
B.-4
C.-5
D.6答案:A33.与向量a=(12,5)平行的单位向量为()A.(1213,-513)B.(-1213,-513)C.(1213,513)或(-1213,-513)D.(-1213,513)或(1213,-513)答案:设与向量a=(12,5)平行的单位向量b=(x,y),|a|=13所以a=±13bb=(1213,513),或b=(-1213,-513)故选C.34.下列命题错误的是(
)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.35.双曲线的渐近线方程是3x±2y=0,则该双曲线的离心率等于______.答案:∵双曲线的渐近线方程是3x±2y=0,∴ba=32,设a=2k,b=3k,则c=13k,∴e=ca=132.:132.36.如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积是______.答案:由已知,圆锥的底面直径为2,母线为2,则这个圆锥的表面积是12×2π×2+π?12=3π.故:3π.37.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.π3B.π4C.π2D.π答案:设:正方体边长设为:a则:球的半径为3a2所以球的表面积S1=4?π?R2=4π34a2=3πa2而正方体表面积为:S2=6a2所以比值为:S1S2=π2故选C38.袋中有4个形状大小一样的球,编号分别为1,2,3,4,从中任取2个球,则这2个球的编号之和为偶数的概率为()A.16B.23C.12D.13答案:根据题意,从4个球中取出2个,其编号的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种;其中编号之和为偶数的有(1,3),(2,4),共2种;则2个球的编号之和为偶数的概率P=26=13;故选D.39.直线y=3x的倾斜角为______.答案:∵直线y=3x的斜率是3,∴直线的倾斜角的正切值是3,∵α∈[0°,180°],∴α=60°,故为:60°40.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗亭.假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()
A.0.4
B.1.2
C.0.43
D.0.6答案:B41.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且,那么(
)
A.
B.
C.
D.2
答案:A42.若图中的直线l1,l2,l3的斜率为k1,k2,k3则()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k2<k1<k3
D.k3<k2<k1
答案:C43.过A(-2,3),B(2,1)两点的直线的斜率是()
A.
B.
C.-2
D.2答案:B44.
已知向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量2+2b的夹角等于()
A.
B.
C.
D.答案:D45.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是()
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误答案:A46.下列函数中,与函数y=x(x≥0)有相同图象的一个是()A.y=x2B.y=(x)2C.y=3x3D.y=x2x答案:一个函数与函数y=x
(x≥0)有相同图象时,这两个函数应是同一个函数.A中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.B中的函数和函数y=x
(x≥0)具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数.C中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.D中的函数和函数y=x
(x≥0)的定义域不同,故不是同一个函数.综上,只有B中的函数和函数y=x
(x≥0)是同一个函数,具有相同的图象,故选B.47.关于如图所示几何体的正确说法为______.
①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;
③这是一个四棱柱;
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体;
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱.答案:①因为有六个面,属于六面体的范围,②这是一个很明显的四棱柱,因为侧棱的延长线不能交与一点,所以不正确.③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱,④可以有四棱柱和三棱柱组成,⑤和④的想法一样,割补方法就可以得到.故为:①③④⑤.48.设a,b是不共线的两个向量,已知=2+m,=+,=-2.若A,B,D三点共线,则m的值为()
A.1
B.2
C.-2
D.-1答案:D49.四面体ABCD中,设M是CD的中点,则化简的结果是()
A.
B.
C.
D.答案:A50.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()
A.k1<k2<k3
B.k2<k1<k3
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.正方形ABCD的边长为1,=,=,则|+|=(
)
A.0
B.2
C.
D.2答案:C2.比较大小:a=0.20.5,b=0.50.2,则()
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.1<a<b
D.1<b<a答案:A3.平面向量、的夹角为60°,=(2,0),=1,则=(
)
A.
B.
C.3
D.7答案:B4.已知x、y之间的一组数据如下:
x0123y8264则线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点()A.(0,0)B.(2,6)C.(1.5,5)D.(1,5)答案:∵.x=0+1+2+34=1.5,.y=8+2+6+44=5∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点(1.5,5)故选C5.b=ac(a,b,c∈R)是a、b、c成等比数列的()A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件答案:当b=a=0时,b=ac推不出a,x,b成等比数列成立,故不充分;当a,b,c成等比数列且a<0,b<0,c<0时,得不到b=ac故不必要.故选:D6.已知直线l的参数方程为x=12ty=22+32t(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-π4)
(1)求直线l的倾斜角;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.答案:(1)直线参数方程可以化x=tcos60°y=22+tsin60°,根据直线参数方程的意义,这条经过点(0,22),倾斜角为60°的直线.(2)l的直角坐标方程为y=3x+22,ρ=2cos(θ-π4)的直角坐标方程为(x-22)2+(y-22)2=1,所以圆心(22,22)到直线l的距离d=64,∴|AB|=102.7.从某校随机抽取了100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图),由图中数据可知m=______,所抽取的学生中体重在45~50kg的人数是______.答案:由频率分步直方图知,(0.02+m+0.06+0.02)×5=1,∴m=0.1,∴所抽取的体重在45~50kg的人数是0.1×5×100=50人,故为:0.1;508.与原数据单位不一样的是()
A.众数
B.平均数
C.标准差
D.方差答案:D9.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=______;向量a与向量a+2b的夹角的大小为______.答案:∵a?b=|a|?|b|cos60°=1,∴|a+2b|=(a+2b)2=4+4+4a?b=23,设向量a与向量a+2b的夹角的大小为θ,∵a?(a+2b)=2×23cosθ=43cosθ,a?(a+2b)=a2+2a?b=4+2=6,∴43cosθ=6,cosθ=32,∴θ=30°,故为23,30°.10.
圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心的极坐标是()
A.(1,)
B.(,)
C.(,)
D.(2,)
答案:A11.在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线的方程是()
A.ρsinθ=1
B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1
D.ρcosθ=答案:A12.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.答案:由于台体的体积V=13(S+SS′+S′)h,则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm.故它的深度为75cm.13.意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子?试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.答案:见解析解析:解:根据题意可知,第一个月有对小兔,第二个月有对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第个月有对兔子,第个月有对兔子,第个月有对兔子,则有,一个月后,即第个月时,式中变量的新值应变第个月兔子的对数(的旧值),变量的新值应变为第个月兔子的对数(的旧值),这样,用求出变量的新值就是个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的从逐次增加,一直变化到,最后一次循环得到的就是所求结果.流程图和程序如下:S=1Q=1I=3WHILE
I<=12F=S+QQ=SS=FI=I+1WENDPRINT
FEND14.下列函数中,与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxB.f(x)=1xC.f(x)=x3D.f(x)=ex答案:∵函数y=1x,∴x>0,A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故A正确;B、∵f(x)=1x,∴x≠0,故B错误;C、f(x)=x3,其定义域为R,故C错误;D、f(x)=ex,其定义域为R,故D错误;故选A.15.如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图,从图中看,平均成绩较高的是______班.答案:∵茎叶图的数据得到甲同学成绩:46,58,61,64,71,74,75,84,87;茎叶图的数据得到乙同学成绩:57,62,65,75,79,81,84,87,89.∴甲平均成绩为69;乙平均成绩为75;故为:乙.16.考虑坐标平面上以O(0,0),A(3,0),B(0,4)为顶点的三角形,令C1,C2分别为△OAB的外接圆、内切圆.请问下列哪些选项是正确的?
(1)C1的半径为2
(2)C1的圆心在直线y=x上
(3)C1的圆心在直线4x+3y=12上
(4)C2的圆心在直线y=x上
(5)C2的圆心在直线4x+3y=6上.答案:O,A,B三点的位置如右图所示,C1,C2为△OAB的外接圆与内切圆,∵△OAB为直角三角形,∴C1为以线段AB为直径的圆,故半径为12|AB|=52,所以(1)选项错误;又C1的圆心为线段AB的中点(32,2),此点在直线4x+3y=12上,所以选项(2)错误,选项(3)正确;如图,P为△OAB的内切圆C2的圆心,故P到△OAB的三边距离相等均为圆C2的半径r.连接PA,PB,PC,可得:S△OAB=S△POA+S△PAB+S△POB?12×3×4=12×3×r+12×5×r+12×4×r?r=1故P的坐标为(1,1),此点在y=x上.所以选项(4)正确,选项(5)错误,综上,正确的选项有(3)、(4).17.下列命题:
①用相关系数r来刻画回归的效果时,r的值越大,说明模型拟合的效果越好;
②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越小,“X与Y有关系”可信程度越大;
③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;
其中正确命题的序号是
______.(写出所有正确命题的序号)答案:①是由于r可能是负值,要改为|r|的值越大,说明模型拟合的效果越好,故①错误,②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越大,“X与Y有关系”可信程度越大;故②正确③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;故③正确,故为:③18.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0.x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.答案:(1)由已知可得两个圆的方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=61-m,两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5,两圆的半径之和为11+61-m,由两圆的半径之和为11+61-m=5,可得m=25+1011.(2)由两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于两圆的半径之差为|11-61-m|,即|11-61-m|=5,可得
11-61-m=5(舍去),或
11-61-m=-5,解得m=25-1011.(3)当m=45时,两圆的方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=16,把两个圆的方程相减,可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0.第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为d=|4+9-23|5=2,可得弦长为211-4=27.19.已知x∈R,i为虚数单位,若(x-2)i-1-i为纯虚数,则x的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案:(x-2)i-1-i=[(x-2)i-1]•i-i•i=(x-2)i2-i=(2-x)-i由纯虚数的定义可得2-x=0,故x=2故选C20.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为______.答案:方程x2+my2=1变为x2+y21m=1∵焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴1m=2,解得m=14故应填1421.有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()A.2+62aB.(2+6)aC.1+32aD.(1+3)a答案:由题意可知:当正四棱锥沿底面将侧面都展开时如图所示:分析易知当以PP′为正方形的对角线时,所需正方形的包装纸的面积最小,此时边长最小.设此时的正方形边长为x则:(PP′)2=2x2,又因为PP′=a+2×32a=a+3a,∴(
a+3a)2=2x2,解得:x=6+22a.故选A22.在复平面上,设点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,过A、B、C作平行四边形ABCD,则平行四边形对角线BD的长为______.答案:∵点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i∴A(0,1),B(1,0),C(4,2)设D(x,y)∴AD=BC=(3,2)∴D(3,3)∴对角线BD的长度是4+9=13故为:1323.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
D.由a的取值确定答案:C24.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,设抽得次品数为X,则E(5X+1)=______.答案:由题意,X的取值为0,1,2,则P(X=0)=1315×1214×1113=2235;P(X=1)=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P(X=2)=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E(X)=0×2235+1×1235+2×135=1435,所以E(5X+1)=1435×5+1=3故为3.25.如图是容量为150的样本的频率分布直方图,则样本数据落在[6,10)内的频数为()A.12B.48C.60D.80答案:根据频率分布直方图,样本数据落在[6,10)内的频数为0.08×4×150=48故选B.26.已知矩阵M=2a21,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=2321,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒x+y=0∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为1-1;当λ=4时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒2x-3y=0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.27.已知直线经过点,倾斜角,设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。答案:2解析:把直线代入得,则点到两点的距离之积为28.如果执行程序框图,那么输出的S=()A.2450B.2500C.2550D.2652答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出:S=2×1+2×2+…+2×50的值.∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故选C29.已知点D是△ABC的边BC的中点,若记AB=a,AC=b,则用a,b表示AD为______.答案:以AB,AC为临边作平行四边形ACEB,连接其对角线AE、BC交与点D,易知D是△ABC的边BC的中点,且D是AE的中点,如图:由向量的平行四边形法则可得AB+AC=a+b=AE=2AD,解得AD=12(a+b),故为:AD=12(a+b)30.若曲线x24+k+y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是
______.答案:要使方程为双曲线方程需(4+k)(1-k)<0,即(k-1)(k+4)>0,解得k>1或k<-4故为(-∞,-4)∪(1,+∞)31.方程4x-3×2x+2=0的根的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3答案:C32.不等式lgxx<0的解集是______.答案:∵lgx的定义域为(0,+∞)∴x>0∵lgxx<0∴lgx<0=lg1即0<x<1∴不等式lgxx<0的解集是{x|0<x<1}故为:{x|0<x<1}33.平行投影与中心投影之间的区别是
______.答案:平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线交于一点,故为:平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线交于一点34.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若OA+OB+OC=λOG,则实数λ=______.答案:由于G是三角形ABC的重心,则有GA+GB+GC=0,OA-OG+OB-OG+OC-OG=0故OA+OB+OC=3OG又由已知OA+OB+OC=λOG故可得λ=3故为:335.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为______.答案:将原极坐标方程ρ=4sinθ,化为:ρ2=4ρsinθ,化成直角坐标方程为:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.故为:x2+(y-2)2=4.36.把方程化为以参数的参数方程是(
)A.B.C.D.答案:D解析:,取非零实数,而A,B,C中的的范围有各自的限制37.若21-i=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=______.答案:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故为:238.(几何证明选讲选做题)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=33,求AD的长.答案:(1)证明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC;
…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5(2)∵AB是圆的直径,∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中,∵BC=33,∠BAC=60°,∴AC=3又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6
…10′39.曲线与坐标轴的交点是(
)A.B.C.D.答案:B解析:当时,,而,即,得与轴的交点为;当时,,而,即,得与轴的交点为40.如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积是______.答案:由已知,圆锥的底面直径为2,母线为2,则这个圆锥的表面积是12×2π×2+π?12=3π.故:3π.41.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则“a1<0且0<q<1”是“对于任意n∈N*都有an+1>an”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件答案:A42.某年级共有210名同学参加数学期中考试,随机抽取10名同学成绩如下:
成绩(分)506173859094人数221212则总体标准差的点估计值为______(结果精确到0.01).答案:由题意知本题需要先做出这组数据的平均数50×2+61×2+73+2×85+90+2×9410=74.9,这组数据的总体方差是(2×24.92+1.92+2×13.92+15.12+2×19.12)÷10=309.76,∴总体标准差是309.76≈17.60,故为:17.60.43.O、B、C为空间四个点,又、、为空间的一个基底,则()
A.O、A、B、C四点不共线
B.O、A、B、C四点共面,但不共线
C.O、A、B、C四点中任意三点不共线
D.O、A、B、C四点不共面答案:D44.用数学归纳法证明“<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1答案:C45.已知方程x2-6x+a=0的两个不等实根均大于2,则实数a的取值范围为()
A.[4,9)
B.(4,9]
C.(4,9)
D.(8,9)答案:D46.已知圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm,高为3cm,求圆台的体积.答案:∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm,高为3cm,∴圆台的体积V=13×3×(4π+4π?25π+25π)=39πcm3.47.(选做题)方程ρ=cosθ与(t为参数)分别表示何种曲线(
)。答案:圆,双曲线48.下列命题中正确的是()
A.若,则
B.若,则
.若,则
D.若,则答案:C49.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)50.下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是
()A.f(x)=x0与g(x)=1B.f(x)=2lgx与g(x)=lgx2C.f(x)=|x|与g(x)=(x)2D.f(x)=x与g(x)=3x3答案:A、∵f(x)=x0,其定义域为{x|x≠0},而g(x)的定义域为R,故A错误;B、∵f(x)=2lgx,的定义域为{x|x>0},而g(x)=lgx2的定义域为R,故B错误;C、∵f(x)=|x|与g(x)=(x)2=x,其中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},故C错误;D、∵f(x)=x与g(x)=3x3=x,其中f(x)与g(x)的定义域为R,故D正确.故选D.第3卷一.综合题(共50题)1.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn=c
(a、b、c∈R),则“c=0”是“{an}是等差数列”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案:数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c根据等差数列的前n项和的公式,可以看出当c=0时,Sn=an2+bn表示等差数列的前n项和,则数列是一个等差数列,当数列是一个等差数列时,表示前n项和时,c=0,故前者可以推出后者,后者也可以推出前者,∴前者是后者的充要条件,故选C.2.
008年北京成功举办了第29届奥运会,中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格,某球迷赛前准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:
比赛项目
票价(元/场)
篮球
1000
足球
800
乒乓球
500
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,这个球迷想预定上表中三种球类门票,其中足球门票数与乒乓球门票数相同,且足球门票的费用不超过男篮门票的费用,则可以预订男篮门票数为
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:D3.已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E,过E点引EF∥CB交AD的延长线于F,过F点作圆O的切线FG,求证:EF=FG.答案:证明:∵FG为⊙O的切线,而FDA为⊙O的割线,∴FG2=FD?FA①又∵EF∥CB,∴∠1=∠2.而∠2=∠3,∴∠1=∠3,∠EFD=∠AFE为公共角∴△EFD∽△AFE,FDEF=EFFA,即EF2=FD?FA②由①,②可得EF2=FG2∴EF=FG.4.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.5.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.答案:(1)二面角B—AD—F的大小为45°(2)直线BD与EF所成的角的余弦值为解析:(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知,ABFC是正方形,∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0),∴=(-3,-3,8),=(0,3,-8).cos〈,〉=
==-.设异面直线BD与EF所成角为,则cos=|cos〈,〉|=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.6.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为()A.944B.2544C.3544D.3744答案:白球没有减少的情况有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:58.抓出白球,抓入白球,概率是38×511=1588,故所求事件的概率为58+1588=3544,故选C.7.如图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图,则其原来平面图形的面积是(
)
A.4
B.
C.
D.8
答案:A8.若不等式logax>sin2x(a>0,a≠1)对任意x∈(0,π4)都成立,则a的取值范围是()A.(0,π4)B.(π4,1)C.(π4,π2)D.(0,1)答案:∵当x∈(0,π4)时,函数y=logax的图象要恒在函数y=sin2x图象的上方∴0<a<1如右图所示当y=logax的图象过点(π4,1)时,a=π4,然后它只能向右旋转,此时a在增大,但是不能大于1故选B.9.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆,则此圆锥的底面半径为
______.答案:设圆锥的底面半径为R,则由题意得,2πR=π×4,即R=2,故为:2.10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若向量OB=a100OA+a101OC,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于______.答案:由题意可知:向量OB=a100OA+a101OC,又∵A、B、C三点共线,则a100+a101=1,等差数列前n项的和为Sn=(a1+an)?n
2,∴S200=(a1+a200)×200
2=(a100+
a101)×2002=100,故为100.11.已知(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a,各项系数和为b,则a+b=______.(用数字表示)答案:由题意可得(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a=23=8令x=1可得各项系数和为b=(2+1)3=27∴a+b=35故为:3512.一圆形纸片的圆心为O点,Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于P点,当点A运动时点P的轨迹是______.
①圆
②双曲线
③抛物线
④椭圆
⑤线段
⑥射线.答案:由题意可得,CD是线段AQ的中垂线,∴|PA|=|PQ|,∴|PQ|+|PO|=|PA|+|PO|=半径R,即点P到两个定点O、Q的距离之和等于定长R(R>|OQ|),由椭圆的定义可得,点P的轨迹为椭圆,故为④.13.“神六”上天并顺利返回,让越来越多的青少年对航天技术发生了兴趣.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案
如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1,变轨(航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为
对称轴、M(0,647)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0),观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为______时航天器发出变轨指令.答案:设曲线方程为y=ax2+647,由题意可知,0=a•64+647.∴a=-17,∴曲线方程为y=-17x2+647.设变轨点为C(x,y),根据题意可知,抛物线方程与椭圆方程联立,可得4y2-7y-36=0,y=4或y=-94(不合题意,舍去).∴y=4.∴x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴C点的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC|=4.故为:25、4.14.函数y=ax2+a与(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:D15.设椭圆的左焦点为F,AB为椭圆中过点F的弦,试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系.答案:设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心),A1、B1、M1分别是A、B、M在准线l上的射影(如图).由圆锥曲线的共同性质得|AB|=|AF|+|BF|=e(|AA1|+|BB1|)=2e|MM1|.∵0<e<1,∴|AB|<2|MM1|,即|AB|2<|MM1|.∴以AB为直径的圆与左准线相离.16.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
则|a+2b|=______.答案:∵平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23.故为:23.17.若a=(1,1),则|a|=______.答案:由题意知,a=(1,1),则|a|=1+1=2,故为:2.18.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),则C点坐标为
______.答案:设C(x,y,z),则:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故为:(9,-6,10)19.(坐标系与参数方程选做题)过点(2,π3)且平行于极轴的直线的极坐标方程为______.答案:法一:先将极坐标化成直角坐标表示,(2,π3)化为(1,3),过(1,3)且平行于x轴的直线为y=3,再化成极坐标表示,即ρsinθ=3.法二:在极坐标系中,直接构造直角三角形由其边角关系得方程ρsinθ=3.设A(ρ,θ)是直线上的任一点,A到极轴的距离AH=2sinπ3=3,直接构造直角三角形由其边角关系得方程ρsinθ=3.故为:ρsinθ=320.已知某人在某种条件下射击命中的概率是,他连续射击两次,其中恰有一次射中的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C21.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()
A.(,-)
B.(,-)
C.(-,)
D.(-,)答案:A22.栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为,,移栽后成活的概率分别为,.
(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率;
(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.答案:(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为;(2).恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为.解析:分别记甲、乙两种果树成苗为事件,;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件,,,,,.(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为;(2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件,则,.恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为.解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为.23.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是
______.答案:根据题意,x2+ky2=2化为标准形式为x22+y22k=1;根据题意,其表示焦点在y轴上的椭圆,则有2k>2;解可得0<k<1;故为0<k<1.24.若双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意可得,当焦点在x轴上时,ba=34,∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54.当焦点在y轴上时,ab=34,∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53,故为:53
或54.25.方程.12
41x
x21-3
9.=0的解集为______.答案:.12
41x
x21-3
9.=9x+2x2-12-4x+3x2-18=0,即x2+x-6=0,故x1=-3,x2=2.故方程的解集为{-3,2}.26.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,点C在⊙O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为______.答案:∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B;∵AD是⊙O的切线,∴BA⊥AD,即∠OAD=∠ACB=90°,∴Rt△AOD∽Rt△CBA,∴BCOA=ABOD,即BC1=23,故BC=23.27.给出下列结论:
(1)在回归分析中,可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好;
(2)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效果越好;
(3)在回归分析中,可用相关系数r的值判断模型的拟合效果,r越大,模型的拟合效果越好;
(4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
以上结论中,正确的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:B28.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C29.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°答案:C30.某校有学生1
200人,为了调查某种情况打算抽取一个样本容量为50的样本,问此样本若采用简单随便机抽样将如何获得?答案:本题可以采用抽签法来抽取样本,首先把该校学生都编上号0001,0002,0003…用抽签法做1200个形状、大小相同的号签,然后将这些号签放到同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽一个号签,连续抽取50次,就得到一个容量为50的样本.31.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为()A.103NB.10
NC.20
ND.102N答案:设向F1,F2的对应向量分别为OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图,则OC=OA+OB,对应力F1,F2的合力∵F1,F2的夹角为90°,∴四边形OACB是矩形在Rt△OAC中,∠COA=30°,|OC|=20∴|OA|=|OC|cos30°=103故选:A32.不等式的解集是
.答案:[0,2]解析:本小题主要考查根式不等式的解法,去掉根号是解根式不等式的基本思路,也考查了转化与化归的思想.原不等式等价于解得0≤x≤2.33.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.34.直线l1:x+3=0与直线l2:x+3y-1=0的夹角的大小为______.答案:由于直线l1:x+3=0的斜率不存在,故它的倾斜角为90°,直线l2:x+3y-1=0的斜率为-33,故它的倾斜角为150>,故这两条直线的夹角为60°,故为60°.35.
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