数学期望的定义

§4.1离散型随机变量的数学期望主讲：刘常胜单位：数理系预备知识1、算术平均值

若有n个数为的算术平均值.

例：一个数学专业在校大学新生，期末成绩为：数学分析80分，高等代数85分，解析几何90分，大学英语85分，形势与政策80分，则该学生的算术平均分数为：称

这个数字显然不能反映该同学的真正成绩，因为它没有考虑到这五个科目的相对重要性。譬如在这个年级中，数学分析为5学分，高等代数4学分，解析几何3学分，大学英语3学分，形势与政策1学分.因此下面的计算更为合理些：预备知识2、加权平均值给定权

预备知识满足

称

为

关于权的加权平均值.权，又称权重(Weight)3、加权平均值与所选的“权”有关

在这个例子中，若数学分析为每周6学时，高等代数4学时，解析几何3学时，大学英语4学时，形势与政策1学时，则该生的加权平均分也可以用下式表达：预备知识预备知识等分“权”（算术平均值）按学分分配“权”按学时分配“权”1、设X为离散r.v.,分布律为若级数绝对收敛,则称其和为X

的数学期望，又称期望,均值或（加权）平均值，记作E(X),

即§4.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望的定义即一、离散型随机变量的数学期望的定义2、在定义中对级数要求绝对收敛的必要性因为诸的顺序对随机变量取期望并不是本质的因而在数学期望定义中应允许任意改变求和次序，而不影响收敛性及其和值，这在数学上相当于绝对收敛.[反例]设离散型随机变量X的概率分布为因此按照数学期望定义，该随机变量的数学期望不存在.3、数学期望是随机变量的数字特征，而不是本质特征.一、离散型随机变量的数学期望的定义P-101

0.10.80.1P-2020.20.60.2它们具有相同的数学期望，但是却是两个完全不同的随机变量.注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一的本质特征.[例1]设r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP

-13解甲乙两人赌博，甲赢的概率为，输的概率为，甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则甲平均每次可赢元。§4.1随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例§4.1随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例[例2]某人有10万元现金，想投资某个项目，预计成功的机会为30%，可得利润8万元；失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，利率为5%，问是否做此项投资？

X

8-2

P0.30.7分析：记为投资利润，其概率分布为因此而存入银行的利息为0.5万元，从数学期望角度，似应该选择投资，当然要看当事人是否愿意冒这个风险.1、

X~B(n,p),即则2、若X~B(1,p),

即§4.1随机变量的数学期望三、常用离散型随机变量的数学期望则三、常用离散型随机的变量数学期望3、

X~Possion(),即则§4.1随机变量的数学期望三、常用离散型随机的变量数学期望4、X~G(p),即则某篮球运动员投篮命中率为50%，规定该运动员首次投篮命中时即刻停止，则投篮次数X

的平均值为2，即平均每投篮2次才进1个球，正好也反映了命中率.讨论题

将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.分析：设X为空盒子数,则

X的概率分布为XP0123思考我们知道，所谓离散型随机变量就是它的取值在数轴上的分布是不稠密的，分散的；那么对于在数轴上取值稠密的连续性随机变量来说，如何描述数学期望（平均值）呢？小结

一、离散型随机变量的数学期望的定义二、数学期望的应用