高中数学人教B版第二章函数 10

第19课时函数的应用(Ⅰ)课时目标1.会利用一次函数和二次函数模型解决简单实际问题．2．理解数学建模的过程，并不断地加强数学应用意识．识记强化常见的函数模型：(1)正比例函数模型，形如y＝kx(k≠0)．(2)反比例函数模型，形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)．(3)一次函数模型，形如y＝ax＋b(a≠0)．(4)二次函数模型，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(5)分段函数模型，形如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x∈A,gx，x∈B)).课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N,2x＋10，10≤x＜100，x∈N.,，x≥100，x∈N))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．25C．40D．答案：B解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若＝60，则x＝40＜100，不合题意．故该公司拟录用25人．2．从地面竖直向上抛出一个小球，小球距离地面的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是()A．6sB．4sC．3sD．2s答案：A解析：令h＝30t－5t2＝0，则t＝0(舍去)或t＝6.3．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为()A．45元B．55元C．65元D．70元答案：D解析：设在50元的基础上提高x元，x∈N，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5000，x∈N，其对称轴为x＝20，故每件商品的售价为70元时，月利润最高．4．从装满20L纯酒精的容器中倒出1L酒精，然后用水加满，再倒出1L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精xL，倒第k＋1次时共倒出纯酒精f(x)L，则A．f(x)＝eq\f(19,20)x＋1B．f(x)＝eq\f(1,20)x＋1C．f(x)＝eq\f(19,20)(x＋1)D．f(x)＝eq\f(1,20)x答案：A解析：∵倒第k次时共倒出纯酒精xL，∴第k次后容器中含纯酒精(20－x)L，第k＋1次倒出的纯酒精是eq\f(20－x,20)L，所以f(x)＝x＋eq\f(20－x,20)＝eq\f(19,20)x＋1.5．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，A．3mB．4mC．6答案：A解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为S，则S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S有最大值为18.6．某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m，要使流量最大，则渠深h为()\f(1,6)m\f(1,3)m\f(\r(2),6)m\f(\r(3),6)m答案：D解析：等腰梯形的腰为eq\f(2,3)eq\r(3)h，周长为m，下底为m－eq\f(4,3)eq\r(3)h，上底为m－eq\f(4,3)eq\r(3)h＋eq\f(2,3)eq\r(3)h＝m－eq\f(2,3)eq\r(3)h，∴S等腰梯形＝eq\f(1,2)(2m－eq\f(6,3)eq\r(3)h)h＝－eq\r(3)h2＋mh＝－eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h－\f(\r(3),6)m))2＋eq\f(\r(3),12)m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜h＜\f(\r(3),4)m))，当h＝eq\f(\r(3),6)m时，Smax＝eq\f(\r(3),12)m2，此时流量最大．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且产量每增加一单位，成本增加1万元，又知总收入R(万元)与产量Q的函数关系式为R(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2，则最大总利润L(Q)是________万元，这时产品的产量为________．(总利润＝总收入－成本)答案：250300解析：L(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq\f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．8．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的高度都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树答案：解析：若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为x＝1，设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋.当x＝时，y＝0.25a－a＋＝1，∴a＝2，y＝2(x－1)2＋∴绳子的最低点距地面的距离为0.59．某种电热水器的水箱盛满水是200L，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34L，在放水的同时注水，tmin注水2t2L，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止答案：4解析：设最多用热水器xmin，则水箱内水量y＝200＋2x2－34x＝2(x－eq\f(17,2))2＋eq\f(111,2)，∴当x＝eq\f(17,2)时，y有最小值，此时共放水34×eq\f(17,2)＝289L.∵每人洗浴用水65L，∴三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，且每生产一台仪器需再投入100元，已知总收益(单位：元)满足函数R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400,80000x＞400))，其中x(单位：台)是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？(利润＝总收益－总成本)解：(1)由题意，知总成本为(20000＋100x)元，从而f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400,60000－100xx＞400)).(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，f(x)有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，又f(400)＝20000＜25000，∴当x＝300时，f(x)取得最大值25000.即当月产量为300台时，公司所获最大利润为25000元．11．(13分)某校校长暑假期间带领该校市级三好学生去北京旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择．甲旅行社的方案：校长按全票收费，学生可享受半价优惠．乙旅行社的方案：全部按票价的6折收费．已知全票价为240元．(1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙关于学生人数x的函数解析式．(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N*)，y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N*)．(2)令y甲＝y乙，则120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生人数为4时，两家旅行社的收费一样．(3)①当y甲＞y乙时，120x＋240＞144x＋144，解得x＜4；②当y甲＝y乙时，x＝4；③当y甲＜y乙时，120x＋240＜144x＋144，解得x＞4.综上所述，当x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＝4时，两家旅行社收费一样．能力提升12．(5分)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－，x∈(0,240)．若每台产品的售价为40万元，则生产者不亏本(销售收入不少于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台答案：A解析：要使生产者不亏本需满足3000＋20x－≤40x.即＋20x－3000≥0，x2＋200x－30000≥0，∴x≥100或x≤－300∵x∈(0,240)∴最低产量是100台，故选A.13．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t((1)写出图1表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益，问何时上市西红柿的纯收益最大？解：(1)由图1，可得西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式为f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－t，0＜t≤200,2t－300，200＜t≤300)).由图2，可得西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式为g(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100,0＜t≤300.(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(