高等流体力学第六章

第六章导热问题的数值解6.1

一维稳态导热6.2

边界条件与源项的处理一维稳态导热源项线性化6.2

边界条件与源项的处理一维稳态导热其中6.2

边界条件与源项的处理一维稳态导热式中下标nb表示一个相邻结点，表示对所有的相邻结点求和

6.3

边界条件在热传导问题中有三类典型的边界条化：

1．已知边界温度

2．已知边界热流密度

3．通过放热系数和周围流体的温度来规定边界的热流密度．6.3

边界条件6.3

边界条件对控制容积积分，考虑热流与温度关系6.3

边界条件

6.3

边界条件（第三类）

如果热流密度系由放热系数h以及环境流体温度T那么于是对于的方程变为：式中6.4

四项基本法则法则1：在控制容积面上的连续性

当一个面作为两个相邻控制容积所共有，离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。6.4

四项基本法则

图3.5由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性

6.4

四项基本法则法则2：正系数

所有的系数（以及各相邻结点系数）必须总是正的。

（3.13）

（3.15）6.4

四项基本法则法则3：源项的负斜率线性化

当源项线性化为时，系数必须总是小于或是等于0。其中6.4

四项基本法则

aP=aE+aW-SPΔx法则4：相邻结点系数之和

为了使微分方程在因变量增加一个常数之后也仍然能得到满足，我们要求：

方程（3.18）当时，遵守此法则。（3.18）6.5

界面导热系数离散化方程：6.5

界面导热系数其中：如何求取导热系数ki？6.5

界面导热系数假设k在P点和E点之间呈线性变化，则：其中：（4.5）（4.6）ke=fekP+(1-fe)kE6.5

界面导热系数如果界面e位于两个网格点之间的中点，那么fe将是0.5，ke就是kp与ke的算术平均值。界面热流密度：（4.8）对于在P点与E点之间的组合板，根据稳态无内热源一维导热的分析，可得：（4.7）6.5

界面导热系数将（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：（4.9）当界面位于P和E之间的中点时，则，有（4.10）6.5

界面导热系数将式（4.9）代入，得（4.11）ae代表点P和E之间的材料的热导。1.令，则由方程（4.9）可得：。2.令，则：。6.6

源项的线性化当源项S与T有关时，则：S的线性化应当是S-T关系的一个良好的表达式，还必须满足非正的SP的基本法则。6.6

源项的线性化例1.已知：。某些可能的线性化如下：1.2.当S的表达式很复杂时，采用此方式。3.曲线比实际的S-T关系更陡的曲线，这将使迭代的收敛速度减慢。6.6

源项的线性化例2.已知：。某些可能的线性化如下：1.2.3.导致收敛速度减慢。不可接受，因为SP为正。6.6

源项的线性化例3.已知：。某些可能的线性化如下：1.2.3.则：在点，所选择的直线与S-T曲线相切。6.6

源项的线性化4.收敛慢。6.7

线性代数方程的解

一维离散化方程的解可以用标准的高斯(Gauss)消去法得到，由于方程的形式特别简单，消去过程的算法就变得十分方便．有时候，这种算法称之为TDMA(三对角矩阵算法)．TDMA的名称基于：在写这些方程的系数矩阵时，所有的非零系数均排列在矩阵的三条对角线上(仅对角元素及其上下邻位上的元素不为零)．6.7

线性代数方程的解式中下标i＝l，2，3，…N．于是温度Ti与相邻的温度Ti-1及Ti+1有关．

（1）将方程改写成：6.7

线性代数方程的解显然当i＝1时，C=0，而i=N时，B=0，即首、尾两个节点的方程中仅有两个未知数。TDMA的求解过程分为消元与回代两步。消元时，从系数矩阵的第二行起，逐一把每行中的非零元素消去一个，使原来的三元方程化为二元方程。消元进行到最后一行时，该二元方程就化为一元。可立即得出该未知量的值。逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。6.7

线性代数方程的解假设在前向代入过程中，得到

把方程（2）代入方程（1）就得到：

（2）

（3）6.7

线性代数方程的解改写成：与式（2）相比，有6.7

线性代数方程的解

可以由左端点的离散方程来确定：其中，所以，6.7

线性代数方程的解当消元到最后一行时，有：而，所以，从上式出发，逐个回代，得出Ti（N-1，…1）。例题k＝1；源项S＝－T，SC＝0，Sp＝－1，T1＝0设有一导热型方程，边界条件为x＝0，T＝0；x＝1，。将该区域三等分，求该问题的解。解：由导热方程知，

6.7

线性代数方程的解6.7

线性代数方程的解a1=a3=3,a2=19/3,b2=0a2=a4=3,a3=19/3,b3=0a3=3,a4=19/6,b4=-1，

6.7

线性代数方程的解即19/3T2=3T3+3T119/3T3=3T4+3T219/6T4=3T3-1T1=0T2=-243/1121T3=-27/59T4=-840/11216.7

线性代数方程的解高斯—塞始尔(Gauss—5eldel)逐点计算法其中Tnb*代表在计算机存贮器中所存在的相邻点的温度值．对于那些在本次迭代过程中已经被访问过的相邻点是新鲜的计值，而对于那些尚待访问的相邻点是由前一次达代所得到的值．6.7

线性代数方程的解高斯—塞始尔(Gauss—5eldel)逐点计算法

迭代序列号01234T10-1-4-11.5-30.25T20-3-10.5-29.5-76.136.7

线性代数方程的解高斯—塞始尔(Gauss—5eldel)逐点计算法

迭代的序号012345···T100．20．680．8720．9490．920···1．0T201．21．681．8721．9491．980···2．06.7

线性代数方程的解逐行计算法

6.7

线性代数方程的解松弛

我们在方程的右侧加上，再减它，我们就有：括号内的部分代表由本次迭代所产生的的变化。这一变化可以通过引进一个

6.7

线性代数方程的解松弛

括号内的部分代表由本次迭代所产生的的变化。这一变化可以通过引进一个

松弛因子加以修改，所以6.8

超松弛与欠松弛在代数方程的迭代求解过程中，或是用于处理非线性问题的整体迭代模式中，往往希望加快或是减慢前后二次迭代之间因变量值的变化。因变量的变化被加速——超松弛；因变量的变化被减慢——欠松弛。对于离散方程取作为前一次迭代所得TP值。采用一个松弛因子离散方程可以写成如果我们在方程的右侧加上变换可以得到括号内部分代表本次迭代所产生的TP的变化。可以通过引进一个松弛因子加以修改

,为松弛因子当迭代收敛时，TP和相等6.8

超松弛与欠松弛6.8

超松弛与欠松弛松弛因子在0与1之间时，他的作用是欠松弛的；对一很小的值，TP的变化很慢。当大于1时，就产生超松弛。的最佳值与