平面任意力系简化-5

第二章

力系的简化平面任意力系

各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系§2–1力系等效与简化§2–2力系简化的基础§2–3平面力系的简化§2–4固定端约束的约束力§2–5结论与讨论第二章平面力系简化

序言某些力系，从形式上（比如组成力系的力的个数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些力系为等效力系。

序言为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力系基本特征的最简单、最基本的量——力系基本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。

序言本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其应用于简单力系。2．1力系等效与简化的概念2．1．1力系的主矢与主矩主矢的概念：由任意多个力所组成的力系（F1、F2、．．．Fn）中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢（principalvector），用FR

表示：主矩的概念：为系中所有力对于同一点（Ｏ）之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩（principalmoment），用表示，即：讨论:需要指出的是，主矢只有大小和方向，并未涉及作用点；主矩却是对于确定点的。因此，对于一个确定的力系，主矢是唯一的；主矩并不是唯一的，同一个力系对于不同的点，其主矩般不相同。2．1．2等效的概念如果两个力系的主矢和主矩分别对应相等，二者对于同一刚体就会产生相同的运动效应，因而称这两个力系为等效力系（eauivalentsystemofforces）。2．1．3简化的概念所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的简化（reductionofforcesystem）。力系简化的基础是力向一点平移定理（theoremoftranslationofforce）。2．2力系简化的基础——力向一点平移定理根据力的可传性，作用在刚体上的力，可以沿其作用线移动，而不会改变力对刚体的作用效应。但是，如果将作用在刚体上的力，从一点平行移动至另一点，力对刚体的作用效应将发生变化。能不能使作用在刚体上的力平移到作用线以外的任意点，而不改变原有力对刚体的作用效应？为了使平衡后与平衡前力对刚体的作用等效，需要应用加减平衡力系原理。假设在刚体上的A点作用一为F，如图2-1a所示，为了使这一力能够等效地平衡到刚体上的其他任意一点（例如B点），先在这一点施加一对大小相等、方向相反的平衡力系（F，），这一对力的数值与作用在A点的力F数值相等，作用线与F平行。根据加减平衡力系原理，施加上述平衡力系后，力对刚体的作用效应不会发生改变。因此，施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的作用与原来的一个力等效。增加平衡力系后，作用在A点的力F与作用在B的力组成一力偶，这一力偶的力偶矩M等于力F对O点之矩，即：施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由作用在B点的力F和作用在刚体上的一个力偶矩为M的力偶所组成的力系，如图2-1c所示。根据以上分析，可以行到以下重要结论：作用于刚体上的力可以平衡到任一点，而不改变它对刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对于新作用点之矩。此即为力向一点平移定理。力向一点平移结果表明，一个力向任一点平移，得到与之等效的一个力和一个力偶；反之，作用于同一平面内的一个力和一个力偶，也可以合成作用于另一点的一个力。力偶矩与力矩一样也是矢量，因此，力向一点平移所得到的力偶矩矢量可以表示成：其中，rBA为A点至B点的矢径。2．3平面力系的简化2．3．1平面汇交力系与平面力偶系的合成结果对于作用线都通过O点的平面汇交力系，利用矢量合成的方法可以将这一力系合成为一通过O点的合力，这一个力等于力系中所有力的矢量和，即:对于平面力系，在Oxy坐标系中，上式可以写成力的投影形式：式中，Fx、Fy

为合力F分别在x轴和y轴上的投影，等号右边的项、分别为力系中所有的力在x轴和y轴上投影的代数和。平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代数和，即：2．3．2平面一般力系向一点简化下面应用力向一点平移以及平面汇交力系和平面力偶系的合成结果，讨论平面力系的简化。设刚体上作用有由任意多个力所组成的平面力系（F1、F2、．．．Fn），如图2-2a所示。现将力系向其作用平面内任一点简化，这一点称为简化中心，通常用O表示。简化的方法是：将力系中所有的力逐个向简化中心O点平移，每平移一个力，便得到一个力和一个力偶，如图2-2b所示。平面力系向一点简化所得到的平面汇交力系和平面力偶系，还可以进一点合成为一个合力和一个合力偶。2．3．3平面力系的简化结果上述分析结果表明：平面力系向作用面内任意一点简化，一般情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作用线通过简化中心，这一力称为力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化中心主矩，数值等于力系中所有力对简化中心之矩的代数和。由于力系向任意一点简化其主矢都是等于力系中所有力的矢量和，所以主矢与简化中心的选择无关；主矩则不然，主矩等于力系中所有力对简化中心之矩的代数和，对于不同的简化中心，力对不同的简化中心，力对简化中心之矩各不相同，所以，主矩与简化中心的选择有关。需要注意的是，主矢与合力是两个不同的概念，主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可在任意点现出；而合力有三要素，除了大小和方向之外还必须指明其作用点。例题2-1：固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试求：螺钉作用在墙上的力F。解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成。但是，对于力系中力的个数比较多的情形，这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达式（2-6），则比较方便。为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy，如图2-3b所示。先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（2-6），得：由些可求得合力F的大小与方向（即其作用线与x轴的夹角）：例题3-2：作用在刚体上的6个力组成牌同一平面内的3个力偶（F1，F1′）、（F2，F2′）和（F3，F3′），如图2-4所示，其中F1＝300N，F2=600N,F1′=400N，。图中长度单位为mm，试求3个平面力偶所组成的平面力偶系的合力偶矩。解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：例题2-3图2-5之刚性圆轮上所受复杂力系可以简化为一磨擦力F和一力偶矩为M、方向已知的力偶。已知为F的数值为F=2.4kN。如果要使力F和力偶各B点简化结果只是沿水平方向的主矢FR

，而主矩等于零。B点到轮心O的距离OB=12mm（图中长度单位为mm）。求：作用在圆轮上的力偶的力偶矩M的大小。解：因为要求力和力偶向B点简化结果为：只有沿水平方向的主矢，即通过B点的合力，而所得的主矩（合力偶的力偶矩）等于零。根据式（2-7）E其中，M的负号表示力偶为顺时针转向。式中：将其连同力F=2.4kN代入上式后，解出所要求的力偶矩为M=2.4kN×0.387m=0.93kNm解：1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例题2-4伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重P=2200N，吊车D、E连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m,α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF的拉力。3、选列平衡方程：4、联立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936NyTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中点C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例题2-5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500N•m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的反力。3、列平衡方程：4、联立求解：

ND=475N

NAx=0

NAy=-175NBADQNAyNAxNDCMyx2．4固定端约束的约束力本节应用平面力系的简化方法分析一种约束力比较复杂的约束。这种约束叫做固定端或插入端（fixedendsupport）约束。固定端约束在工程中是很常见。图2-6a所示为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对于雨罩的约束也属于固定端约束。固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面力系，如图2-7a所示。将这一分布力系向被约束构件根部（例如A点）简化，可得到一约束力和一约束力偶，约束力的方向及约束力偶偶的转向均不确定，如图2-7b所示。固定端方向未知的约束力也可以用两个互相垂直分力和表示。约束力偶的转向可任意假设，一般设为正向，即逆时针方向。如果最后计算结果为正值，表明所假设的逆时针方向是正确的；若为负值，说明实际方向与所假设的逆时针方向相反，即为顺时针方向。固定端约束与固定铰链约束不同的是，不仅限制了被约束构件的移动，还限制了被约束构件的转动。因此，固定端约束力系的简化结果为一个为与一个力偶与其对构件的约束效果是一致的。2．5结论与讨论2．5．1关于力的矢量性质的讨论本章所涉及的力学矢量较多，因而比较容易混淆。根据这些矢量对刚体所产生的运动效应，以及这些矢量大小、方向、作用点或作用线，可以将其归纳为三类：定位矢、滑动矢、自由矢。请同学们判断力矢、主矢、力偶矩矢以及主矩分别属于哪一类矢量。2．5．2关于平面力系简化结果的讨论本章介绍了力系简化的理论以及平面一般力系向某一确定点的简化结果。但是，在很多情形下，这并不是力系简化的最后结果。所谓力系简化的最后结果，是指力系向某一确定点简化所得到的主矢和主矩，还可以进一步简化，最后得到一个合力、一个合力偶或二者均为零。2．5．3关于实际约束的讨论在上一章和这一章中，分别介绍了铰链约束与固定端约束。这两种约束的差别就在于：铰链约束只限制了被约束物体的移动。没有限制被约束物体的转动；固定端约束既限制了被约束物体的移动，又限制了被约束物体的转动。可见，固定端约束与铰链约束相比，增加了一个约束力偶。实际结构中的约束，被约束物体的转动不可能完全被限制。因而，很多约束可能既不属于铰链约束，也不属于固定端约束，而是介于二者之间。这时，可以简化为铰链上附加一扭转弹簧，表示被约束物体既不能自由转动，又不是完全不能转动。实际结构中的约束，简化为哪一种约束，需要通过实验加以验证。作业：2-2，2-7，2-9，2-10OAdBF一、力矩的定义——力F的大小乘以该力作用线到某点O间距离d，并加上适当正负号，称为力F对O点的矩。简称力矩。§2–1力对点之矩二、力矩的表达式:三、力矩的正负号规定：按右手规则，当有逆时针转动的趋向时，力F对O点的矩取正值。四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为N.m。

五、力矩的性质：1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零§2–1力对点之矩4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩六、力矩的解析表达式yxOxyAB§2–1力对点之矩

力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和七、力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。联系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。§2–1力对点之矩§3–2FAOdFAOdlAO==

把力F作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F对点O的矩。证明：一、力线平移定理：§2–2力线平移定理

二、几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。§2–2力线平移定理§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩

A3OA2A1F1F3F2l1Ol2l3LOO==

应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。一、力系向给定点O的简化

共点力系F1、F2、F3的合成结果为一作用点在点O的力R。这个力矢R称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用LO代表，称为原平面任意力系对简化中心O

的主矩。§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩结论：

平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩主矢：二、几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩方向余弦：2、主矩Lo可由下式计算：三、主矢、主矩的求法：1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析法计算。§2–3平面任意力系的简化•主矢与主矩==LOOORLo

AORLo

A1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩LO不随简化中心位置而变。2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力R就是原力系的合力。3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理简化结果的讨论综上所述，可见：4、R=0，而LO=0，原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。

⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理合力矩定理yxOxyABF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例题3-1在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。

1、求向O点简化结果：①求主矢R：§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理ROABC

xy§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°②求主矩：（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：R/OABC

xyLoRd§2–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°平衡方程其他形式：A、B的连线不和x轴相垂直。A、B、C三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢等于零，又力系对任一点的主矩也等于零。平衡方程：§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例题2-2伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重P=2200N，吊车D、E连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m,α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF的拉力。§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程3、选列平衡方程：4、联立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936N§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程yTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中点C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例题2-3梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500N•m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的反力。§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程3、列平衡方程：4、联立求解：

ND=475N

NAx=0

NAy=-175N§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程BADQNAyNAxNDCMyx25802083770ABCTQ解：1、取机翼为研究对象。2、受力分析如图.QNAyNAxMABCTA例题2-4某飞机的单支机翼重Q=7.8kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力T=27kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程4、联立求解：

MA=-38.6kN•m(顺时针）

NAx=0

NAy=-19.2kN（向下）3、列平衡方程：§2–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程QNAyNAxMABCTA且A、B的连线不平行于力系中各力。

由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。

平面平行力系平衡的充要条件：力系中各力的代数和等于零，以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。平面平行力系的平衡方程：§2–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0解：1、取汽车及起重机为研究对象。2、受力分析如图。例题2-5一种车载式起重机，车重Q=26kN，起重机伸臂重G=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W=31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。§2–6平面平行力系的平衡4、联立求解：3、列平衡方程：5、不翻条件：NA≥0故最大起重重量为Pmax=7.5kN§2–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0一、几个概念：1、物体系——由若干个物体通过约束组成的系统2、外力——物体系以外任何物体作用于该系统的力3、内力——物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。§2–7物体系的平衡与静不定问题的概念静定静不定静不定静不定

三、静定与静不定概念：

1、静定问题——

当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。2、静不定问题——

当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。§2–7物体系的平衡与静不定问题的概念解：1、取AC段研究，受力分析如图。例题2-6三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。物体系的平衡问题P3DEABCNCyNCxNAyNAxDAC列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如图。列平衡方程：物体系的平衡问题PBCENCyNCxNAyNAxDAC联立求解：可得

NAx=-NBx=NCx=9.2kNNAy=42.5kNNBy=47.5kNNCy=2.5kN

NCx和NCx、

NCy和NCy是二对作用与反作用力。物体系的平衡问题解：1、取CE段为研究对象，受力分析如图。Pl/8qBADLCHEl/4l/8l/4l/4LQ13l/8CEHl/8NCNE例题2-7组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：

l=8m，P=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小L=5kN·m，试求固端A、铰链C和支座E的反力。物体系的平衡问题列平衡方程：2、取AC段为研究对象，受力分析如图。联立求解：可得

NE=2.5kN（向上）

NC=2.5kN（向上）Q2PLAl/4ACHl/8l/8NALQ13l/8CEHl/8NCNE物体系的平衡问题列平衡方程：联立求解：可得

LA=30kN·m

NA=-12.5kNQ2PLAl/4ACHl/8l/8NA物体系的平衡问题§2–8平面静力学在工程中的应用举例1、桁架——

一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。一、概念：2、平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架。3、节点——

桁架中杆件的铰链接头。4、杆件内力——

各杆件所承受的力。5、静定桁架——

如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架失去形状的固定性。§2–8平面静力学在工程中的应用举例1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。

二、桁架计算的常见假设：

三、桁架结构的优点：可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。§2–8平面静力学在工程中的应用举例四、计算桁架杆件内力的方法：1、节点法--应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。2、截面法--应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某部分的平衡。§2–8平面静力学在工程中的应用举例aa