刚体定轴转动动力学

3.2.1刚体定轴转动的转动定律1.力矩对于定点转动而言：对于定轴转动而言：注意:

(1)力矩是对点或对轴而言的;

(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时；使刚体顺时针绕定轴转动时.2.刚体定轴转动的转动定律对质元，由牛顿第二运动定律得其中是质元绕转轴作圆运动的加速度，写为分量式如下：其中和是质元绕轴作圆运动的法向加速度和切向加速度，所以法向力的作用线过转轴,其力矩为零.内力矩为零外力矩为M刚体定轴转动的转动定律转动惯量是刚体转动时对惯性的量度描述.3.转动惯量适用于离散刚体转动惯量的计算适用于连续刚体转动惯量的计算在国际单位制（SI）中，转动惯量的单位为千克二次方米，即.3.2.5例题分析

1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m和M的物体，且.滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为，半径为R，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩的作用.设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.解受力分析如图所示.对上下做平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即联立以上三个方程，得注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此时有，物理学中称这样的滑轮为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德机.

2.求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量.（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴.（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；解（1）如图所示，以过A端垂直于棒的为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取长度元，则由转动惯量的定义有:

（2）如图所示，以过中点垂直于棒的为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取长度元，则由转动惯量的定义有:

3.试求质量为m、半径为R的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.解作示意图如右,由于质量连续分布，所以由转动惯量的定义得

4.试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对垂直于盘面且过中心轴的转动惯量.解如图所示,由于质量连续分布，设圆盘的厚度为l，则圆盘的质量密度为部分均匀刚体的转动惯量薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直2r球体转轴沿直径l细棒转轴通过中心与棒垂直l细棒转轴通过端点与棒垂直(2)质量元的选取：线分布面分布

体分布(1)刚体的转动惯量：

以上各例说明：线分布体分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。

(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于

定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。刚体转动惯量的大小与下列因素有关：

（1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大；

（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大；

（3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布不同，转动惯量的大小不同.3.2.2刚体定轴转动的动能定理1.刚体定轴转动的动能(转动动能)对于第i个质元,动能为对于整个刚体,动能为2.刚体定轴转动时力矩所做的功及功率3.刚体定轴转动的动能定理

1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.练习:

一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动.某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为，杆与竖直轴的夹角为.设杆的质量为、杆长为l，小球的质量为.求：1）系统对轴的转动惯量；

2）在图示位置系统的转动动能；

3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.解:l2）系统的转动动能为：3）系统所受重力有杆的重力和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：l

5.

如图所示，一质量为M、半径为R的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有质量可不计的绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m的物体，问物体由静止落下h高度时,物体运动的速率为多少？物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以解法一用牛顿第二运动定律及转动定律求解.分析受力如图所示.对物体m用牛顿第二运动定律得对匀质圆盘形滑轮用转动定律有物体m落下h高度时的速率为圆盘的转动惯量为联立以上五式，可得物体m落下h高度时的速率为小于物体自由下落的速率解法二利用动能定理求解.对于物体m利用质点的动能定理有其中和是物体的初速度和末速度.对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有其中是在拉力矩TR的作用下滑轮转过的角度，和是滑轮的初末角速度.由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所经过的弧长，即.联立以上各式，可得物体m落下h高度时的速率为解法三利用机械能守恒定律求解.若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的拉力T对物体做负功（），对滑轮做正功（）即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒.若把系统开始运动而还没有运动时的状态作为初始状态，系统在物体落下高度h时的状态作为末状态，则解之可得物体m落下h高度时的速率.3.2.3刚体定轴转动的角动量守恒定律1.角动量(动量矩)对于定点转动而言：在国际单位制（SI）中，角动量的单位为对于绕固定轴oz转动的整个刚体而言:对于绕固定轴oz的转动的质元而言:角动量的方向不是沿轴的正向，就是沿轴的负向,所以可用代数量来描述.2.角动量定理（动量矩定理）3.角动量守恒定律

即系统所受的合外力矩为零.——角动量守恒的条件

——角动量守恒的内容

注意：在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适用范围却远远超过了这些限制.如:滑冰运动员的表演.3.2.4开普勒定律1.开普勒第一定律

每一行星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳是椭圆轨道的一个焦点．这一定律也称为轨道定律．太阳冥王星海王星天王星土星木星火星地球金星水星2.开普勒第二定律

行星运动过程中，行星相对于太阳的位矢在相等的时间内扫过的面积相等．这一定律也称为面积定律.2a太阳行星3.开普勒第三定律

行星绕太阳公转时，椭圆轨道半长轴的立方与公转周期的平方成正比，即这一定律也称为周期定律．

6.哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是

,速率它离太阳最远时的速率这时它离太阳的距离解彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒.于是有代入数据可,得

7.如图所示，一个长为l、质量为M的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m、速率为v的子弹以与水平方向成角的方向射入杆内距支点为a处，使杆的偏转角为.问子弹的初速率为多少？解把子弹和匀质杆作为一个系统,分析可知在碰撞过程中角动量守恒.设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为,则子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有联立上述这两个方程得子弹的初速率为

8.如图所示，一根质量为M、长为2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置.今有一质量为m的小球，以速度垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞.试求碰撞后小球的回跳速度及棒绕轴转动的角速度.解分析可知,以棒和小球组成的系统的角动量守恒.由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量;由于碰撞后小球以速度v

回跳，棒获得的角速度为，所以碰撞后系统的角动量为由角动量守恒定律得由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即联立以上两式，可得小球的速度为棒的角速度为要保证小球回跳，则必须保证.讨论:“刚体的定轴转动”基本内容

1刚体定轴转动运动学角位置：角位移：角速度：角加速度：线量与角量的关系：2

刚体定轴转动动力学（1）刚体定轴转动的转动定律----力矩的瞬时作用效果力矩：转动惯量：刚体定轴转动的转动定律：（2）刚体定轴转动的动能定理---力矩对空间的累积效应力矩的功：定轴转动的转动动能：定轴转动的动能定理：机械能守恒定律：(此时动能中既包含平动动能还包含转动动能)（3）刚体定轴转动的角动量定理---力矩对时间的累积效应质点的角