平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积考纲考情三年22考高考指数:★★★★☆

1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系三年考题13年(10考):湖北T6上海T18大纲版全国卷T3

湖南T6重庆T10安徽T9

新课标全国卷ⅠT13浙江T17

江西T12新课标全国卷ⅡT1312年(6考):广东T8江苏T9安徽T14浙江T5

湖南T7北京T1311年(6考):广东T3广东T5江苏T10

福建T10辽宁T10湖南T14

考情播报1.数量积的运算、投影、模与夹角是近几年各地高考命题的亮点2.常与三角函数、三角恒等变换、平面几何、解析几何等相结合考查3.题型以选择题、填空题为主,属中档题【知识梳理】1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作则______就是向量a与b的夹角.∠AOB(2)图示：(3)范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.(4)共线与垂直:若θ=0°,则a与b_____;若θ=180°,则a与b_____;若θ=90°,则a与b_____.同向反向垂直2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量____________叫做a与b的数量积,记作a·b投影_________叫做向量a在b方向上的投影,_________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3.平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔_______.(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|.当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|,特别地,a·a=____或者|a|=_______.(4)cosθ=_________.(5)a·b≤_______.a·b=0|a|2|a||b|4.数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=_________=_________.(3)分配律:a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c5.平面向量数量积的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则数量积a·b=_________模|a|=_________夹角

cosθ=_____________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b=0⇔__________x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0【考点自测】1.(思考)给出下列结论:①向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量;②两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量;③由a·b=0可得a=0或b=0;④(a·b)c=a(b·c).其中正确的是(

)A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选A.由向量投影的定义可知①正确;由数量积及线性运算的意义知②正确;由a·b=|a||b|cosθ知,当两个非零向量的夹角θ=90°时,a·b=0,而不必a=0或b=0,所以③不正确;由向量数量积及向量的数乘的意义知,当a·b≠0时,(a·b)c是与c方向相同或相反的向量,而当b·c≠0时a(b·c)是与a方向相同或相反的向量,所以④不正确.综上应选A.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4，且a·b=2,则a与b的夹角为()【解析】选C.设a与b的夹角为θ，则又因为θ∈［0,π］，所以3.(2014·天津模拟)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A.9B.4C.0D.-4【解析】选A.a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.所以x＝9.4.已知单位向量a，b的夹角是120°，则|a+b|=()A.B.1C.D.【解析】选B.由题意，得|a|=|b|=1,所以5.(2014·青岛模拟)已知|a|=2,向量a与b的夹角是则a在b上的投影是________.【解析】a在b上的投影是答案：

6.已知等边三角形ABC的边长为1，设则a·b+b·c+c·a=________.【解析】如图，得a与b,b与c,c与a的夹角都是120°，又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°答案：

考点1平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_______.(2)(2014·长春模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则的值为______，的最大值为_______.【解题视点】(1)根据向量数量积的运算律及数量积的运算公式列方程求解.(2)结合图形建立平面直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求解，或选取基向量，用基向量表示后再根据向量数量积的运算公式求解.【规范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=0,化简得t+1-t=0,所以t=2.答案：2(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0,1)，B(1，0)，C(1，1)，所以所以方法二：选取作为基底，设0≤t≤1，则答案：11【互动探究】本例(2)中，当E是AB的中点时，试求上的投影.【解析】方法一：如图，过点E作EF⊥DC，垂足为F，由投影的定义知，方法二：如图，向量的夹角是∠EDC，所以【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.【变式训练】(2014·青岛模拟)已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足若则λ=()【解析】选A.由题意得【加固训练】1.若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a-b)·c=30，则x=()A.6B.5C.4D.3【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30,即18+3x=30，解得x=4.2.已知两个单位向量e1，e2的夹角为若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2，则b1·b2=_______.【解析】b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2.又因为e1,e2的夹角为|e1|=1,|e2|=1,所以b1·b2=3-2cos-8=3-1-8=-6.答案：-6考点2平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014·衡水模拟)若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是()A.B.C.D.(2)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b)，则x=_____.(3)设两个向量a,b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的范围．【解题视点】(1)由向量的数量积公式知，只需根据(a+b)⊥a求出a·b即可.(2)根据向量垂直列方程求解.(3)把问题转化为两向量的数量积小于0且两向量不共线反向求解.【规范解答】(1)选A.根据题意，由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a，则有(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔4+b·a=0,所以b·a=-4，那么可知a与b的夹角的余弦值为则a与b的夹角是(2)由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1×(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案：0或2(3)由向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，得即(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<当夹角为π时，也有(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，但此时夹角不是钝角，设2ta＋7b＝λ(a＋tb)，λ<0，所以所求实数t的范围是【易错警示】解答本例(3)易忽视向量2ta+7b与a+tb共线反向的情况，而得错误答案.【互动探究】本例(2)中，若把“a⊥(a-b)”改为“a+b与a-b的夹角为120°”,试求x的值.【解析】由本例(2)知，a+b=(0,4),a-b=(2x-2,-2)，由题意，【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小：若a,b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得

(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式训练】(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_____.【解析】由|a|=|a+2b|，设a与b的夹角为θ，等式两边平方得a2+4a·b+4b2=a2⇒a·b=-b2，所以答案：【加固训练】1.(2014·株洲模拟)若向量a=(1,2),b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于()【解析】选C.因为2a+b=(3,3)，a-b=(0,3)，设2a+b与a-b的夹角为α，所以又α∈［0,π］，故2.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=________.【解析】因为(a+b)⊥(ka-b)，所以(a+b)·(ka-b)=0，即ka2+(k-1)a·b-b2=0.(*)又因为a,b为两个不共线的单位向量，所以(*)式可化为k-1=(1-k)a·b，若1-k≠0，则a·b=-1，这与a，b不共线矛盾；若1-k=0，则k-1=(1-k)a·b恒成立.综上可知，k=1时符合题意.答案：13.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ.(2)求|a+b|和|a-b|.(3)若作△ABC，求△ABC的面积．【解析】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.因为|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，所以又θ∈［0，π］，所以(2)可先平方转化为向量的数量积．|a+b|2＝(a+b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以(3)由(1)知所以考点3平面向量的模及其应用【考情】平面向量的模的计算与平面向量的数量积密切相关，平面向量模的有关问题是近几年高考的热点.常以选择题、填空题的形式出现，考查求模的最值、求模的取值范围等问题，具有一定的综合性.高频考点

通关【典例3】(1)(2013·湖南高考)已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c－a－b|=1,则|c|的取值范围是()(2)(2013·浙江高考)设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,y∈R.若e1,e2的夹角为的最大值等于_________.【解题视点】(1)首先弄懂向量a,b是一组正交基底，且|a+b|=

由|c－(a+b)|=1利用圆的知识可求得结果，或利用代数运算，转化为不等式求解.(2)先求的最大值，其处理方法是变形构造函数，利用函数的最值解答.【规范解答】(1)方法一：选A.条件|c－a－b|=1,可以理解成如图的情况,而|a+b|=向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为最小值是故选A.方法二：选A.由题意，得|a|=|b|=1,a·b=0,所以|a+b|=因为|c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+(a+b)2=1.设c与a+b的夹角为θ,则|c|2-2|c|×cosθ+2=1,即|c|2+1=2|c|cosθ≤2|c|,|c|2-2|c|+1≤0,解得

-1≤|c|≤+1.(2)所以的最大值为2.答案：2【通关锦囊】

高考指数重点题型破解策略◆◆◆求模的最值或取值范围几何法求最值:利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则,结合模的几何意义求模的最值或取值范围代数法求最值:利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围◆◆

求模的大小注意模的计算公式

或坐标公式

的应用,另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解◆◆

求参数值根据模的有关公式列方程求参数值【通关题组】

1.(2014·成都模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y)，若|a+b|=a·b，则y=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y),所以a+b=(3,y+1),a·b=2+y,因为|a+b|=a·b.所以所以y=3.2.(2014·西安模拟)已知单位向量a,b满足|a-kb|=|ka+b|，其中k＞0,则下列与向量b垂直的向量可以是()A.6a+2b

B.a+bC.a-b

D.a+b【解析】选D.因为单位向量a,b满足|a-kb|=|ka+b|，其中k＞0，所以(a-kb)2=3(ka+b)2，即a·b=因为k＞0,所以a·b≤b·(6a+2b)=6a·b+2b2=6a·b+2≤-1,即b与6a+2b不垂直，所以A不正确；即b与不垂直，所以B不正确；即b与不垂直，所以C不正确；所以b与的数量积可以为零，即b与

可以垂直，故选D.3.(2013·重庆高考)在平面上，的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.因为所以即所以因为所以所以【加固训练】1.(2014·嘉兴模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3，a·(a-2b)=0，则|a-b|=()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.因为|a|=2,|b|=3,所以a·(a-2b)=a2-2a·b=4-2a·b=0，即a·b=2，所以2.(2014·北京模拟)若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为()A.B.1C.D.2【解析】选B.由向量a,b,c都是单位向量，可得a2=1，b2=1，c2=1，由a·b=0及(a-c)·(b-c)≤0，可以知道(a+b)·c≥c2=1，因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c，所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)=3-2(a+b)·c，故|a+b-c|≤1.【创新体验3】以平面向量的数量积为载体的创新问题【典例】(2014·福州模拟)对任意两个非零向量定义若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角且都在集合中，则=()A.B.1C.D.【审题视点】创新点①定义运算对任意两个非零向量②

都在集合中切入点根据条件

确定的取值范围,又在集合中,先确定

的值,由此再确定

的取值范围,最后定其值【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积，可知因为又因为|a|≥|b|>0,所以即由①×②得,所以【创新点拨】1.高考考情：以向量为背景的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高.2.命题形式：常见的有新定义，新运算等.【备考指导】1.准确转化：解决新定义问题时，一定要弄清新定义的含义，由此把问题转化为我们学过的定义、运算，切忌同已有的定义或运算相混淆.2.方法选取：成功转化后，可结合特例法、推理法，并注意到向量的概念及数量积的运算特点，根据题目的条件求解，要注意培养学生获取新信息、利用新知识的能力.【新题快递】1.(2014·烟台模拟)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下面说法错误的是(