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文档简介

第三章空间解析几何与向量代数第三节数量积向量积一、两向量的数量积力与位移的夹角为沿直线运动,引例

设一物体在常力F作用下移动的位移为s,则力F

所做的功为1

定义设向量的夹角为,称

记作数量积(点积、内积).一、两向量的数量积故2

数量积的性质为两个非零向量,则有(3)基向量(1)交换律(3)结合律(2)分配律3

数量积的运算规律例1

设向量a与b有，求|a

+

b|解

设向量则对应坐标乘积之和4

数量积的坐标表示及两向量夹角余弦的坐标表示当为非零向量时,由于两向量的夹角公式得且有垂直，且为单位向量，所以有例2

在xOy坐标平面上求一单位向量，使之与已知向量垂直．xOy坐标平面内，可设向量b与a解方程组得故所求向量为，解

因为所求向量在而二、两向量的向量积矩是一个向量M

引例

设O

为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力，它的模为指向符合右手规则，即定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积，称为邻边的平行四边形面积，即向量积的模的几何意义为以向量a与b1向量积的定义二、两向量的向量积为非零向量,则∥3

运算律(3)分配律(2)结合律2向量积的性质4向量积的坐标表示式设向量则向量积的行列式计算法角形

ABC

的面积.解

求三例3

已知三点例4

设单位向量与三个坐标轴夹角相等，B是点M(1,-3,2)关于N(-1,2,1)的对称点.求解OA=(cos,cos,cos).由

=

=

可得cos2+cos2+

cos2=

3

cos2＝1.设,,是OA的方向角，则设点B的坐标是(x,y,z)

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