第二章内力与内力图

第二章内力与内力图

§2-1横截面上内力与内力分量§2-2轴向拉压杆的内力与内力图§2-3扭转圆轴的内力与内力图§2-4平面弯曲梁的内力与内力图§2-5平面刚架和曲杆的内力图横截面上内力计算--截面法截面法求内力步骤将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分；画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力；由静平衡条件确定内力大小。例：如左图，求n-n面的内力。右半部分：左右两部分的力方向相反，但是同一内力，因此规定内力由变形确定正负号，是标量。左半部分§2-1

横截面上内力与内力分量mmP2P5P3P4P1(a)P2mmP3P1(b)xMP2mmP3P1(c)zyFRCyxMxP2mmP3P1(d)zFQyCFQzMzMy横截面上内力与内力分量利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图yxMxP2mmP3P1zFQyCFQzMzMy一、基本变形—(轴向)拉伸、压缩载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力FN轴力正负规定：拉正压负。即拉伸变形为正，压缩变形为负。二、基本变形---剪切载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力FQ剪力正负规定：左上右下正；或顺正逆负。左上：指研究体的左截面（右半边物体）剪力向下三、基本变形---扭转载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩Mx或T扭矩正负规定：右手螺旋法则，拇指离开截面为正，指向截面为负。四、基本变形---弯曲（平面）载荷特点：在梁的对称截面内，作用有力或力偶。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：笑正哭负）小结：基本变形产生的内力变形产生内力名称表示符号±规定应力拉、压轴力拉＋压－σ剪切剪力无τ扭转扭矩右手螺旋法则τ弯曲剪力弯矩顺＋逆－笑＋哭－τσ§2-2

轴向拉压杆件的内力与内力图定义以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩内力的计算截面法如左图内力的表示轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图一、由轴力方程绘制轴力图例如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)由杆件静平衡计算外力b)求BC段轴力。从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示3)图（d）为AB杆的轴力图(a)(b)(c)(d)ABC2)由外力分段，每段内力计算：

a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截开，取左段如图(b)二、由外力直接绘制轴力图外力轴力图无外力不变集中力F突变。方向：拉正压负；大小：集中力大小F

均匀分布力在分布力的起始和终止截面，轴力没有突变。以斜直线渐变。方向：拉正压负；大小：qL.Lq轴力图例1A

B

C

D

EA

B

C

D

EF2=420NF3=280NF4=800NF1=500N-160920640500轴力图例2§2-3扭转圆轴的内力与内力图扭转变形的定义横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴本课程主要研究圆截面轴功率、转速和扭矩的关系

扭矩图仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，即为扭矩图。

其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min)一、由扭矩方程绘制扭矩图例如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画传动轴的扭矩图。解：1)计算外力偶3)画扭矩图d)2)由外力偶分段，用截面法分别求每段轴的扭矩即为1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，如图a)、b)、c)，由d)二、由外力直接绘制扭矩图外力扭矩图无外力偶不变集中力偶突变。方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；大小：集中力偶大小

均匀分布力偶在分布力的起始和终止截面，扭矩没有突变。以斜直线渐变。方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；大小：扭矩图例1扭矩图例2ABCDABCD§2-4平面弯曲梁的内力与内力图弯曲梁的概念及其简化杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。☆简支梁一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座☆外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁☆悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端常见梁的力学模型复习：梁内力的正负规定梁的内力剪力FQC弯矩MC梁内力的正负规定内力方向梁的变形一、由内力方程绘制平面弯曲内力图例1简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy1232）1-1截面内力：(0≤x1≤a)3）2-2截面内力：(a≤x2<2a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；4）3-3截面内力：(2a≤x≤3a)，例1（续）例1续1.当：0≤x1≤a时AC段FQ1=5q.a/62.当：a≤x2≤2a时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2，直线x2=a；FQ2=5q.a/6（=FQ1）x2=2a；FQ2=-q.a/6（=FQ3）3.当：0≤x3≤a(起点在B点）FQ3=-q.a/6例1续当：0≤x1≤a时，M1=5q.a.x1/6为直线当：a≤x2≤2a时，为二次曲线；M2=5qax2-q(x2-a)2/2当：0≤x3≤a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=qa2+q.a.x3/6;

剪力弯矩图例2已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1〉求A,B支座反力(a+b=l)2〉求x截面内力

a)0<x<a

b)a<x<l例1(续)根据以上条件，画出剪力图、弯矩图最大剪力Qmax在AC(b>a)（或CB,a>b）段Qmax=Gb/l最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：FQ=FQ(x) M=M(x)M、FQ与q的微分关系设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。剪力、弯矩微分方程由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。（其中：C、D为积分常量。）公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性.M(x)图为向正方向凸的二次抛物线.FQ(x)图为向负方向倾斜的直线.xFS(x)Oq(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)<0xOM(x)2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一水平直线或斜直线.xFS(x)O当FQ(x)>0时,M向正方向倾斜.当FQ(x)<0时,M向负方向倾斜.xOM(x)OM(x)x当FQ(x)=0时,M水平直线.5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.

梁上最大弯矩Mmax可能发生在FQ(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.

3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.二、由外力直接绘制剪力图和弯矩图外力剪力图弯矩图无外力不变FQ=0，M不变；FQ≠0，M

以斜直线变化，从起始点到终点，大小为FQ与x轴围成的面积；变化方向：FQ为正，向正向渐变，否则向负向渐变。集中力FP突变，方向与FP相同,大小为FP

无变化集中力偶M不变突变。大小为M。突变方向:外力偶(顺时针方向时)为正；

(逆时针方向时)为负。均布载荷以斜直线渐变，方向与q一致，大小为ql

以抛物线渐变，FQ=0处，M为极值，按面积计算M值变化大小。剪力弯矩图例3简支梁受力偶作用求支座反力得C剪力弯矩图例4悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图剪力弯矩图例5M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN例6例7内力图----剪力图14-8（c）解答DABCDABCDABCDABC1.平面刚架的内力:剪力;弯矩;轴力.ABC平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构.一、平面刚架的内力图§2-5

平面刚架和曲杆的内力图2、内力图符号的规定弯矩图画在各杆的受压側,不注明正、负号.剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在

刚架的外側).注明正,负号.例题18图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1

和F2

作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.alF1F2ABC解：将刚架分为CB，AB

两段CB

段FN(x)=0M(x)=F1x(0x

a)FS(x)=F1(+)(0<x

<a)M(x)FN(x)FS(x)CxF1xalF1F2ABCFS(x)CBaF1F2FN(x)M(x)xBA

段FN(x)=F1（—）

(0x

l)M(x)=F1a+F2

x

(0x

l)FS(x)=F2(+)(0<x<l)CB段FN(x)=0

BA段FN(x)=F1（—）FN图F1|CalF1