信号处理原理-徐明星CHAP03

3拉普拉斯变换傅里叶变换的基础是：可以用复指数的线性组合表示信号复指数的指数jt，它只能随时间在虚轴j上变化变化的范围扩展到整个复数平面将指数进一步扩展为复变量s（s=+j）这就由傅里叶变换推广至拉普拉斯变换，简称拉氏变换1拉普拉斯变换的历史与应用十九世纪末，英国工程师亥维赛德发明了算子法，很好地解决了电力工程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数学论证。法国数学家拉普拉斯在著作中对这种算子法给予严密的数学定义。是对连续时间系统进行分析的重要方法之一，同时也是其他一些新变换方法的基础。在电学、力学等众多科学与工程领域中得到了广泛应用。随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这些方面却无能为力，它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。尽管如此，利用拉氏变换建立的关于系统函数及其零极点分析的概念仍有重要的意义。在连续、线性、时不变系统的分析中，拉氏变换至今仍是不可缺少的强有力工具。2不少信号函数虽然有傅里叶变换存在，但由于积分不收敛，不能直接用定义式求傅里叶变换。如单位阶跃函数。由于狄义赫利条件要求信号绝对可积，有的信号根本不存在傅里叶变换。某些信号虽有傅里叶变换，但变换结果中出现了冲激函数。如阶跃信号、周期信号等信号。这样有时不方便。其中为任意常数，将其与信号f(t)相乘，选取合适的实数，使乘积信号满足绝对可积条件（即狄义赫利条件），从而能够进行傅里叶变换。引入一个衰减因子傅里叶变换的不足3拉普拉斯变换的定义令则上式被称为拉普拉斯变换式4双边拉普拉斯变换拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。拉普拉斯变换LT定义拉普拉斯反变换ILT定义原函数象函数5单边拉普拉斯变换实际碰到的信号总是因果信号变换的积分下限从零开始单边拉普拉斯变换表达式6衰减因子引入的意义（作用）衰减因子的意义从数学方法上看：将函数f(t)乘以衰减因子后，将使之成为收敛函数，从而满足绝对可积条件。从物理意义上看：只能表示振荡的重复频率，而将频率变换为复频率s后，不仅能表示重复频率，还能表达振荡幅度增长或衰减的速率。7LT的收敛域从LT的定义可知：当信号f(t)乘以衰减因子以后，乘积信号并非一定能满足绝对可积的限制条件。还要根据信号f(t)的性质，选择适当的衰减因子，才能使信号的LT存在。使信号f(t)的拉普拉斯变换存在的的取值范围，称为该信号拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。不同的信号，它们的拉氏变换结果有可能相同，但变换成立的条件(即各自的ROC)不同。因此，对于信号的拉氏变换，除了给出相应的变换结果表示式外，还要给出使表示式能够成立的复变量s的取值范围。也只有给出了相应的ROC，拉氏变换才与特定的信号有对应关系。8常见信号的拉普拉斯变换阶跃函数指数函数Re[s]>-a,其中a可正可负

冲激函数ROC为整个s平面

还有一些常用信号的拉普拉斯变换及其收敛域，可以通过查表得到。可以用它们来求解一些复杂变换的逆变换，特别是在用部分分式来求解拉普拉斯变换的逆变换的时候。9拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质与傅里叶变换的性质基本上是相似的，都可以根据拉氏变换的定义来直接证明。我们在后面将学习离散时间信号的Z变换，以及离散傅里叶变换DFT，这些变换也有类似的性质。建议大家在学习完本课程介绍的所有变换后，把它们对比起来进行复习。10线性信号之和的拉氏变换等于各信号的拉氏变换之和。时域平移(延时定理)S域平移尺度变换拉普拉斯变换的性质S域平移尺度变换时域平移(延时定理)S域平移尺度变换线性时域平移(延时定理)S域平移尺度变换11拉普拉斯变换的性质时域微分时域积分f(t)积分式在t=0的取值频域微分频域积分12卷积定理拉普拉斯变换的性质两信号卷积的拉氏变换等于各自拉氏变换的乘积

两信号乘积的拉氏变换等于各自拉氏变换的卷积

它们被分别称为时域卷积定理和频域卷积定理13拉普拉斯变换的性质初值定理与终值定理若信号是因果信号，且f(t)及其导数的拉氏变换都存在，则可以利用信号的拉氏变换结果，求信号的初值和终值。初值终值在求出信号的拉氏变换后，可利用本性质对变换结果进行检验。即若根据本性质求出的初值和终值与信号的实际值不符，则说明拉氏变换过程有错。但这种验证并不充分，因为即便求出的初值和终值与信号的真实值相符，拉氏变换结果还是可能是错误的。14拉普拉斯逆变换留数法留数定理在s平面沿一不通过被积分函数极点的封闭曲线C进行的围线积分等于此围线C中被积函数各极点pi的留数之和用留数定理求拉普拉斯逆变换的公式为15拉普拉斯逆变换部分分式法求逆变换拉氏变换式F(s)常可表示为s的有理分式，这时，借助于部分分式分解法，可以将F(s)表达式分解，对分解后的各项s函数式的逆变换，可直接从常见函数拉氏变换表中查得，不再需要进行积分运算，从而大大简化拉氏逆变换的求解过程。理论依据拉氏变换的线性特性逆变换方法总结F(s)为有理分式：利用部分分式分解和查表的方法求逆变换，无需引用留数定理。F(s)为有理分式与exp(-st)相乘：可借助拉氏变换的时域平移性质，用部分分式法求解逆变换。F(s)为无理函数：需利用留数定理逆变换。但是这种情况在实际系统中很少碰到16拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系从FT求LT拉氏变换是傅氏变换的一般化，可以把拉氏变换作为傅氏变换来进行，即可以用信号的傅氏变换来求解信号的拉氏变换求信号的单边拉氏变换求信号的双边拉氏变换17拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系从LT求FT傅里叶变换可以被看成是虚轴(s=j)上的拉氏变换即把信号的LT结果中的自变量s换成j，就得到信号的傅里叶变换。这个办法是否正确呢？18拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由双边LT求FT双边拉氏变换的积分限范围是(-,)，如果收敛域包含虚轴j，则信号的傅里叶变换总存在，这时就可以直接用上面的公式由LT求FT。

19拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由单边LT求FT单边拉氏变换的积分限范围是0~，如果信号不是因果信号，则信号在进行单边拉氏变换时会“丢失”部分信息，而傅里叶变换实际上是一种双边变换，因此，从信息“残缺”的拉氏变换求信息“完备”的傅氏变换，是不可能的。信号是因果信号能否从LT求FT，还要根据LT的收敛坐标的情况来定收敛坐标在S平面右半边：信号FT不存在！收敛坐标在S平面左半边：信号FT存在，可用此公式！收