6.2等差数列典型例题与详细解答

n1nnnlmn2nnnnnnm1nnnn1n1nword，，美n1nnnlmn2nnnnnnm1nnnn1n1n．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字d__示．．等差数列的通项式如果等差数{}首项为a，差为，那么它的通项公式是a＝a＋(n1)d.．等差中项＋如果＝，么A叫a等差中项．．等差数列的常用质通项公式的推广a＝a＋－)d，∈N*．若{}等差数列，且＋lmn(，l，mnN*)，则a＋a＝＋若{}等差数列，公差为，则{}是差数列，公差为.若{}{}等差数列，则{pa＋qb}是等差数列．若{}等差数列公为则aa

2

…(kN*是公差为的等差数列．．等差数列的前n项和式n设等差数列{}公为d，其前n项S＝或S＝na＋n2n．等差数列的前n项和式与函数的关系S＝＋－nn数列{}等数列＝An2＋(、为数．．等差数列的前n项和最值在等差数列{}，a>0，则存最大值；若，，存在最_小_值．业资料参考分享

nn12nnnn1nnnnn24662nn1366n411148n351nn12nnnn1nnnnn24662nn1366n411148n35173441274n710n【思考辨析】判断下面结论是否正(在括号中打“√”或“×(1)若个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数是等差数列．(×

)数{}等数列的充要条件是对任意∈*都有2＝＋a√

)等差数{}单性是由公差d决的．(√)数{}等数列的充要条件是其通项公式的次函数(×)数{}足－a＝n则数{}等数列．(×)已知数列{}通项公式是＝＋其中p，为数，则数列{}定是等差数列．(√

)．在等差数列{}，＝4，＝，则a等于()A1B．0C．1．答案B解析由等差数列的性质，得a＝2－a＝×－＝，选B.．等差数列{}前n项为S，＝，＝，则a等()A8BC．D．答案3解析由题意知a＝，由＝＋×d＝，132解得＝2，所以＝＋d＋5＝，选．等差数{}，知＋a＝，则该数列前项和S等()ABC．143．答案B11＋a11＋解析＝＝＝88.112．数列{}等差数列，若＋＋＝，则a＋＋＋等于()ABC．D．35答案解析∵＋a＋＝a＝，a＝4∴＋a＋…＋a＝a＝．若等差数列{}足＋a＋，a＋a<0，则当＝时{}前和最大．业资料参考分享

n788799n1n1nnn24102411nnnn133word，，n788799n1n1nnn24102411nnnn133答案解析因为数列{}等差数列，且a＋a＋a＝3a＞0，所以＞0.又＋＝a＋＜0，所以＜故当n时，其前项和最大．题一

等数基量运例在列{}，若＝2且对任意的∈N*＝12，数列{}10项的和为()5A2BC.4已知在等差数{}，a＝7，＝，前10项S等()AC．380

BD．400答案解析

(2)B(1)由a＝＋a得a－a＝，nn2所以数列{a}首项为－2公差为的等差数列，n2×5所以＝×(－＋×＝.10因为a＝7，＝15所以d＝4＝，故＝×3＋×10×4＝210.10思维升华(1)an)(2)na1

Ⅱ)是差数列{}前n项，若＋＋＝则

5等于()A5B7C9D．S已知等差数{}前和为，且满足－＝1，则数列{}公是)n32B．1．2D答案

(1)A(2)C业资料参考分享

n151333151n1n3131nn1nnnnnnnnnnn1nnnnnnn11nnnn1nnn151333151n1n3131nn1nnnnnnnnnnn1nnnnnnn11nnnn1nn解析

word，，美整理版(1)∵{}等差数列，∴＋a＝，∴＋a＋a＝a＝，得a＝1，a∴＝＝a＝5.故选A.52a＋∵＝，＝，又－＝，n232得

＋a＋a－＝，即a－＝，2∴数列{}公差为题二

等数的定证1例已数列{}，a＝，a＝－n2，∈*)，{}足b＝(n∈N*)．－求证：数{}等差数列；求数列{}的最大项和最小项，并说明理由．证明因为＝－n，n∈*)，n＝(nN*)，－1所以

－b＝－－1a－1＝

－＝－＝1.a－1－a－1n又＝＝－.－1所以数列{b}以－为首项，为公差的等差数列．n解由1)知b＝n－，n22则＝＋＝＋.－设fx)＋，x－7则fx)区间－∞，)和(，∞)上为减函数．2所以当＝3时取得最小值1当＝4时，a取得最大值引申探究2

n1

(an(1){}业资料参考分享

n1nn1n131nn1nn1＋nn1nn1n1n2nn1nnnnn2n1n1nn1n131nn1nn1＋nn1nn1n1n2nn1nnnnn2n12nn12nn1n2nn＋2－(a＋2－a2n21nn1n2解即

由已知可得＝＋，＋n3－＝，又a＝，nn5∴以＝为首项，1为公差的等差数列3∴＝＋n1)·1＝n，5∴＝n－nn5思维升华aanaaaaaaaa…a{}pnqaap{n

}S2S

aa{n

}(1)若{}公差为的等差数列，则{

＋2}()A公差为的等差数列C．差为的等差数列

B公差为4等差数列D．差的差数列21在数列{}，若＝，a＝，＝＋nN*)，则该数列的通项为)Aa＝nnC．＝＋

Ba＝＋D．＝n答案

(2)A解析

(1)∵a

2n

12n

3

2

)＝(a

2n3

)＋－)＝22×＝6∴{a

2n

＋2}是公差为的等差数列．11由已知式＝＋可得a业资料参考分享

nn12nnword，，美整理版nn12nn

n

1111－＝－，{}首项为＝，公差为－＝－11等差数列，所以＝aaaaa，即a＝.nn业资料参考分享

n362nn102030n37625345552851010102020103030n1n10n362nn102030n37625345552851010102020103030n1n101101533n13nnnn12101112141313n121311n题三

word，，美整理版等数的质应命题点等差数列的性质例(1)(2015·)在等差数列{}，＋＋a＋＋a＝25则＋＝________.已知等差数{}前和为，且＝，＝，则＝________.答案解析

(1)因为{}等差数列，所以a＋a＝a＋＝＋＝a，＋＋＋＋＝a＝25即＝，a＋＝＝∵，－，－S成等差数列，且＝10＝30，－＝20，∴－＝＋×10，S＝60.命题点等差数列前项和的最值例4在差数列{}，知＝，前项为S，＝，当n取值时，

n取得最大值，并求出它的最大值．解

∵a＝，＝，××14∴10×20＝×＋d2∴d－.565方法一由a＝＋－×－＝n.得＝0.即当≤12时a＞，当n时，＜∴当＝1213时，取得最大值，×11且最大值为S＝＝×20×－＝1225方法二＝n－n2125＝－n2＋n625＝－－

＋∵n∈*，当＝1213时有大值，且最大值为＝＝130.方法三由＝得a＋＋a＋＋＝0.∴5＝0，即＝0.∴当＝1213时，有最大值，且最大值为＝＝130.引申探究4a业资料参考分享

”20

101113151311214n113nmmnmnnnn12n1nnn1m1mn101113151311214n113nmmnmnnnn12n1nnn1m1mnn56nnn6nn1n解由＝，得＋＋＋＋＝，∴＝0.a＝－20，a，，∴当＝1213时，取得最小值，最小值＝＝＝－130.122思维升华(1)①{}a()

amn

d(mn)()(②{}Snn(aa)…()

2n1

(21)n①nan②

adad

nn

(1)等差数列{}前项为，知＋＝4，＋a＝2则当取大值时，n的是)A5B6C7D．8设数列{}公差＜0的差数列S为项，若S＝5＋10，则取最大值时，的为)A5C．或6

B6D．11已知等差数{}首项a＝，公差＝2则前项和S的最大值为．答案

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6767nn6116nn1nn1710n10100110n54nn456716767nn6116nn1nn1710n10100110n54nn456711n3813n1解析

word，，美整理版(1)依题意得a＝4,2＝－，a＝＞0，＝－1＜0又数{}等差数列，因此在该数列中前项均为正数自第7项以后各项均为负数是当S取最大值时n，选由题意得＝6＋15＝5＋10，所以＝，故当n＝或时，最大，选因为等差数{}的首项a＝，公差＝－，代入求和公式得，nS＝＋d＝－×n22＝－n＋21n－n－2，又因为∈*，所以＝或n＝，S取得最大值，最大值为110.．差数列的前项和及其最值典例()AC．

(1)在等差数{}，2(＋＋＋3(＋)＝，则此数列前10项和等BD．90在等差数{}，＝，＝10则S＝________.等差数{}，知a>0，＋a<0，则{a}前n项的大()AB．DS思维点拨(1)a

aaa…nn解析

(1)由题意得＋＝，10109所以＝＝＝＝45.1022方法一设数列{}公差为，首项为a，则

×＋＝10012×99a＋d10，1

解得

＝，1＝－.×109所以＝110＋＝－1101业资料参考分享

1111100111011100n5nn1nnn36789n36word，，美整1111100111011100n5nn1nnn36789n36方法二因为－＝＝－，100102所以＋＝2＋a所以＝110＝

＝－110.5a6，因所以所以的最大值为答案

(1)A－110温馨提醒(1)用函数思想求等差数列前n项和的值时，注意到∈*；利用等差数列的性质求，出了整体思想，减少了运算量．[法与技]．在解有关等差数的基本量问题时，可通过列关于a，d的方程组进行求解．证明等差数列要定义另外还可以用等差中项法通项公式法前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列．．等差数列性质灵使用，可以大大减少运算量．．在遇到三个数成差数列问题时，可设三个数aa＋，a＋d；－d，＋d；a，a＋，a＋等，可视具体情况而定[误与防]．当公差≠0时，等差数的通项公式是的一次函数，当公差d＝为常数．．公差不为0的等差数列的前n项和公式是的二次函数，常数项为0.某数列的前n项和公式是常数项不为0的次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起等差数列．A组专项基础训练(35)．等差数{}前项和为，＝，＝，a＋a＋a等)ABC．D．27答案B解析由{a}等差数列，得S，－，－为等差数列业资料参考分享

639963n121121221213n12312123131311639963n121121221213n1231212313131112321312121nnm1mm1nnm1m1mnnnn1n3108n10331127138即2(S－)＝＋(－，得到－＝S－S＝，故选．北京){}等差数列，下列结论中正确的()A若＋＞，则＋＞0B．＋＜，则＋＜C．＜a＜，a＞aD．a＜，则－－＞答案解析设等差数列{a}公差为，若a＋>0＋＝＋＋＋d＝＋)＋2，由于正不确定，因而＋符号不确定故选项A错；若＋a<0，＋＝＋－＝(

1＋－d由于d正不确定因而＋符不确定故项错若a<可知a，，a，>0，所以a2－＝(a＋d

－a＋2＝2

，所以aa，故选项正确；若，则a－－)＝d·(－)＝－d2，故选项错．．等差数{}前项和为，＝，＝，＝3则等()A3C．

B4D．答案解析∵数列{a}等差数列，且前和为S，∴数列为等差数列∴

SSS－3＋＝，即＋＝0m－11m1＋解得m，经检验为原方程的解，选C.．{}首项为3{}等数列，且＝－(nN*，若b＝，b＝12，则等()A0C．

B3D．11答案B解析设{b}公差为d，∵－＝d＝－(＝14，d＝2.∵＝－，b＝－＝－2＝－×6∴＋b＋…＋b＝b＋d121＝7(－＋×＝又＋＋…b＝－a)＋(a－)＋…(－＝－＝－＝0，业资料参考分享

8n1nn101n13n3nnn1215nnnnn1215145615Snnword8n1nn101n13n3nnn1215nnnnn1215145615Snn∴＝故选B.．知数{}足a＝a－，a＝，{}前n项为S，使得取最大值nn71nnn的序号值为)A7C．或8答案

B8D．9解析

由题意可知数列{}首项为，差为－的等差数列，所以＝5－(n－＝n－n，该数列前7项是正数项，第8项是0从第开始是负数项，所以取得最大值n时，n＝或，故选C.．知数列{a}＝

＝＋n∈N)，则＝________.101答案

解析由已知得＝＋×＝1＋＝4，a3故＝104．知递增的等差数{}足a＝1，a＝2－4则a＝________.答案n－1解析设等差数列的公差为d∵＝2

－4，∴1＝(1＋d

－，解得24，即d±2.由于该数列为递增数列，故＝2.∴＝＋－×2＝2－．数列{}通项公式为＝2nnN*)，则|＋＋＋＝________.答案解析由a＝－10(n∈*知{a}以－首项公差的等差数列由＝n－≥得n5，∴≤5时，a≤，当n时，＞0，∴a＋|＋＋＝－a＋a＋＋a)＋(a＋＋…＋)＝20＋110＝130.．数列{}前n项为，满足a＋S＝n，a＝.nnn12求证差数列；求数列{}通项公式．证明当≥2时，由＋S＝，业资料参考分享

n1nnnnSnnnn1nnnn13n311n311n1n111n3111781311n1nnnnSnnnn1nnnn13n311n311n1n111n311178131178n得－

n

＝－2S

1

，所以－＝2S1又＝＝，故项为，公差为2的等差列．11解由1)可得＝n，S＝Sn当≥2时，－1－1＝－＝－＝＝－n2当＝1时，a＝不适合上式．1n1，故＝，≥．差数{}，为其前n项，且a＞，S＝，则当n多少时，最？解

方法一由＝得××a＋＝11a＋，则d＝－.1121349从而＝2＋－n＝－－＋a，n又＞，所以－＜故当＝7时，最大．113方法二由于＝2＋是关于二次函数由S＝可知＝2的象关于n＝

3＝7对称．由方法可知＝－＜0，故当＝7时，S最大．13n方法三由方法一可知，d＝－.要使最大，则有即

＋n－≤，解得6.5≤，当n＝7，最大．方法四由＝，可得＋d＝，即(a＋)＋a＋)＝，故＋＝，又由＞，＝可d＜0，所以＞，＜，所以当n，最大．业资料参考分享

nnnn87n8nnn7n11n11nn1n87n711n9nnnn57384nn939393666657841116116166nnword，，nnnn87n8nnn7n11n11nn1n87n711n9nnnn57384nn939393666657841116116166nnB组专项能力提升(20)11设S为差数列{a}前n项，nS＜

1

(∈N*．若＜－，则()A的大值是

B的最小值是

8C．的大值是S

7

D．的小值是S答案DSn＋解析由条件得＜，即＜，以＜，所以等差数列{}n2n为递增数列．又＜－，所以＞0，a＜0即数列{}项小于，第8项于零，所以的最小值为，故选设等差数{}前项和