山西省大同市刘家庄中学2021年高二数学文期末试卷含解析

山西省大同市刘家庄中学2021年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题是真命题的是（

）A．“若，则”的逆命题；

B．“若，则”的否命题；C．“同位角相等”的逆命题；

D．“若，则”的逆否命题参考答案：D略2.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()参考答案：A3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：B4.已知抛物线C1：和C2：,如果直线L同时是C1和C2的切线，称L是C1和C2的公切线，若C1和C2有且仅有一条公切线，则a的值为

(

)A．1

B．－1

C．

D．

参考答案：D略5.设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则=（

）A．

B．

C．3

D．-3参考答案：B。错因：向量数量积应用，运算易错。6.下列结论正确的是（

）A.若则 B.若则C.若则 D.若则参考答案：B【分析】利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解.【详解】A.若则是假命题，因为c=0时，显然不成立.所以该选项是错误的；B.若则，因为函数f(x)=在R上是增函数，所以该选项是正确；C.若则不一定成立，如a=1,b=-1，所以该选项是错误的；D.若则不一定成立，如：a=2，b=-3，所以该选项是错误的.故选：B【点睛】本题主要考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设a=，b=,c=,则a,b,c的大小关系是A．a>c>b

B．a>b>c

C．c>a>b

D．b>c>a参考答案：C略8.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为

A.

B.

C.

D.1参考答案：9.若成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则(

)

参考答案：C10.已知函数上单调递增，那么实数a的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中第3项的系数为

。参考答案：40略12.已知数列的前项和，则数列的通项公式为

．参考答案：13.过点的直线，与圆相较于A、B两点，则________________。参考答案：14.方程x2+（m+3）x﹣m=0有两个正实根，则m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣9]．【考点】二次函数的性质．【分析】根据一元二次方程方程根的符号，利用根与系数之间的关系即可得到结论．【解答】解：设方程的两个正根分别为x1，x2，则由根与系数之间的关系可得，解得m≤﹣9，故m的取值范围为：[﹣∞，﹣9]；故答案为：（﹣∞，﹣9]．15.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出

参考答案：略16.若存在实数满足不等式，则实数x的取值范围是________．参考答案：由题可得：

17.向量与的夹角为θ，｜｜=2，｜｜=1，=t，=（1﹣t），｜｜在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由向量的运算可得∴｜｜2=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜＜，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．【解答】解：由题意可得=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴｜｜2==（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线，圆.（Ⅰ）证明：直线与圆相交；（Ⅱ）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值.

参考答案：（Ⅰ）直线方程变形为，由，得，所以直线恒过定点，

………2分又，故点在圆内部，所以直线与圆相交；………4分（Ⅱ）当时，所截得的弦长最短，此时有，

………6分而，于是，解得.

……8分

略19.已知x＞3，求f（x）=x+的最小值．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴f（x）=x+=x﹣3++3≥2+3=4+3=7，当且仅当x=5时取等号，∴f（x）=x+的最小值为7．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力，注意表达式的变形是解题的关键．20.已知圆，直线，直线与圆交于两点，点的坐标为，且满足.（1）当时，求的值；

（2）当时，求的取值范围．参考答案：解：（1）圆的方程可化为，故圆心为，半径当时，点在圆上，又，故直线过圆心，∴

从而所求直线的方程为

（2）设由得

即∴

①

联立得方程组，化简，整理得

………….(*)由判别式得且有代入①式整理得,从而，又∴可得k的取值范围是略21.如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．参考答案：由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1，求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求．解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0），代入点C（1，2）得p=，得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1），欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为P（t，2t2），0≤t≤1，由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t，切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），即y=4tx﹣2t2，当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，则S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减，故f（t）max=f（）=，而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0）（1）求动点E的轨迹方程，若动点E的轨迹和点A、B合并构成曲线C，讨论曲线C的形状；（2）当λ=﹣时，记曲线C的右焦点为F2，过点F2的直线l1，l2分别交曲线C于点P，Q和点M，N（点P、M、Q、N按逆时针顺序排列），且l1⊥l2，求四边形PMQN面积的最值．参考答案：【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设动点E的坐标为（x，y），由点点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0），知?=λ（λ≠0），由此能求出动点E的轨迹C的方程．（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论．【解答】解：（1）设动点E的坐标为（x，y），∵点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0），∴?=λ（λ≠0），整理，得x2﹣=2，x≠±，∴动点E的轨迹C的方程为﹣=1．λ=﹣1，曲线C表示圆；λ＜﹣1，焦点在y轴上的椭圆；﹣1＜λ＜0，焦点在x轴上的椭圆；λ＞0，焦点在x轴上的双曲线；（2）当λ=﹣时，记曲线C：+y2=1的右焦点为F2（1，0）（ⅰ）若l1与l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则S==2…（ⅱ）若l1与l2得斜率均