山西省吕梁市石楼县第二中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省吕梁市石楼县第二中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，，则的前5项和

(

)A.7

B.15

C.

20

D.

25参考答案：B略2.若向量，且，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：略3.过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（）A．16 B．32 C．48 D．64参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由弦长公式得|AB|，以﹣换k得|CD|，故所求面积为S=|AB||CD|=8（+2）即可求最值．【解答】解：设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为﹣，直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，，由弦长公式得|AB|==×=，以﹣换k得|CD|=4k2+4，∵AB、CD互相垂直故所求面积为S=|AB||CD|=8（+2）≥8（2）≥32（当k2=1时取等号），即面积的最小值为32．故选：B【点评】题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，属于中档题．4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A．28+6

B．60+12

C．56+12

D．30+6参考答案：D5.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.抛物线的焦点到准线的距离是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是A.9 B.10C.11 D.12参考答案：D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知函数，则下列结论正确的是（

）（A）有最大值

（B）有最小值（C）有唯一零点

（D）有极大值和极小值参考答案：C略9.抛物线与直线交于两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则的值等于(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A因为点A在抛物线上，所以有，所以，抛物线方程为，焦点坐标为，又点A也在直线上，所以有，所以，直线方程为，由，解得或，即点B的坐标为，所以，选A.10.若（n∈N*）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A．84

B．－252

C．252

D．－84参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.存在以下三个命题：①若，则；②若a、b∈R，则；③若，则；其中正确的是

（填序号）参考答案：①②③略12.设函数f(x)=(x-3)3+x-1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=

.参考答案：21

略13.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．14.在等比数列{an}中，a5=4，a7=8，则a9=

．参考答案：16考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质知，故可求a9．解答： 解：由等比数列的性质知，故a9=16．故答案为：16，．点评：本题考查等比数列的性质，比较基础．15.设函数，（、、是两两不等的常数），则

.参考答案：0略16.在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则m+n=．参考答案：﹣1【考点】向量在几何中的应用．【专题】探究型；转化思想；转化法；平面向量及应用．【分析】设AB，AC中点分别为M，N，利用向量的三角形法则和三角形的外心的性质即可得出答案．【解答】解：设AB，AC中点分别为M，N，则=﹣=﹣（﹣n）=（）﹣，=﹣=﹣（﹣n）=+（），由外心O的定义知，⊥，⊥，因此，?=0，?=0，∴[（）﹣]?=0，[+（）]?=0，即（）2﹣?=0…①，?+（）2=0…②，∵=﹣，∴2=2﹣2?+2，∴?=（2+2﹣2）=1+…③，将③代入①②得：，解得：∴m+n=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题以向量在平面几何中的应用为载体，考查了向量的三角形法则和三角形的外心的性质，属于难题．17.设函数，则函数的零点的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数是的导函数．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若的值．参考答案：1），．…………………5分时，

，最小正周期为．…………………8分（2），

．=………………16分19.已知a∈R，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；（2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①当a=1时，f′（x）=（x﹣1）2≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；②当a＜1时，当x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，当a＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；③当a＞1时，当x＜1或x＞a时，f′（x）＞0，当1＜x＜a时f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．综上，当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；当a=1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．（2）由（1）知，当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减，所以f（x）在[0，1），（a，a+1]内单调递增，在（1，a）内单调递减，则f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1），因为f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），所以，则，化简得，解得，所以a的取值范围是（1，2）．【点评】本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题．20.已知数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.参考答案：（1）∵，∴，∴，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，∴，∴.∴，，∴，∴.21.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（I）求椭圆C的方程；（II）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为：……………1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为.

………………3分（Ⅱ）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.

………………5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得.…6分则.……………7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，.

………9分所以.

…11分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是.

………13分

略22.（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株