材料工程基础之流体力学1

材料工程基础之流体力学陈常连2011-11材料科学与工程学院4.2流体静力学

流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。因此流体处于静止状态包括了两种形式：一种是流体相对于固结于地面的坐标系没有运动，叫绝对静止，也称为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。另一种是流体整体相对于某个动坐标系没有运动，则称为相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。

流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。一、压强：在静止或相对静止的流体中，单位面积上的内法向表面力称为压强。

二、流体静压强的两个特性：I、流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向。

II、静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无关，即同一点各方向的流体静压强均相等。4.2.1流体静压强及其特性4.2.1流体静压强及其特性4

αpn

pt

p切向压强静压强法向压强三、特性二证明证明：在静止流体中任取一包含A点在内的微小四面体ABCD，各边长分别为dx

、dy

、dz

，坐标如图选取。因为微小四面体处于平衡状态，所以其上所受的力是平衡的。作用于微小四面体上的力只有质量力的表面力有两种。首先分析质量力，设流体的密度为ρ，则微小四面体流体所具有的质量为dm=ρdxdydz/6，则质量力在x、y、z

轴上的分量为：

Fx

=dmfx=fx

ρ

dxdydz/6

Fy

=dmfy=fy

ρ

dxdydz/6

Fz

=dmfz=fz

ρ

dxdydz/64.2.1流体静压强及其特性再考察微小四面体ABCD四个面上所受到的表面力，设作用于ACD、ABD、ABC和BCD四个面上的压强分别为px

，py

，pz

，pn。由于四面体很小，可以认为在各个微小表面上的压强是均布的，则在各相应表面上的表面力为

Px=dydzpx/2

Py=dxdzpy/2

Pz=dxdypz/2

Pn=dspn

式中ds为斜面BCD的面积。分别列出x轴、y轴、z轴方向上的力平衡方程式，得Fx

+

Px-Pndscos(n,x)=0Fy+

Py-Pndscos(n,y)=0Fz+

Pz-Pndscos(n,z)=0

4.2.1流体静压强及其特性以x轴为例，将质量力和表面力表达式代入x轴向的平衡关系方程得：

ρfxdxdydz/6+pxdydz/2

–pndscos(n,x)=0

式中dscos(n,x)=dydz/2，所以上式变成

ρfxdxdydz/6+(px–pn)dydz/2

=0令dx、dy、dz趋近于零则有：px=pn

同理可得：

py=pn

pz=pn所以

px

=py

=pz=pn总结：流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即：p=p(x,y,z)，由此得静压强的全微分为4.2.1流体静压强及其特性4.2.2静止流体的平衡微分方程式一、平衡微分方程式以图示微小平行六面体为研究对象，六面体质量为dm=ρdxdydz

首先考察三个轴向上的质量力：

Fx

=fxdm

=fxρ

dxdydz

Fy

=fydm=fyρ

dxdydz

Fz

=fzdm=fzρ

dxdydz其次分析三个轴向上的表面力：假设A点的压强为p(x,y,z)，则根据静压强特性二，有：

pABD=pABC=pACD=p(x,y,z)将函数p=p(x,y,z)进行泰勒级数展开，并只取一阶无穷小量，从而得到其它对应三个面上的压强为：4.2.2静止流体的平衡微分方程式由此得三个方向上的表面力分别为：X向Y向Z向微小六面体在三个轴向上处于平衡状态，所以作用在其上的质量力和表面力的合力应为0。即：化简得：两边同除六面体质量ρdxdydz

，则得单位质量流体的力平衡方程为：4.2.2静止流体的平衡微分方程式总结：（1）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。（2）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即：平衡流体在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等。4.2.2静止流体的平衡微分方程式二、力势函数1、压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式）把欧拉平衡微分方程式中的三个方程分别乘以dx、dy、dz

，然后相加得：

上式右边为压强的全微分，因此，2、质量力的势函数压强差公式中的dp积分后得到一点上的静压强p，而平衡流体中任意一点的静压强由其坐标唯一确定，因此压强差公式左端的积分也应该是一个唯一确定的值。4.2.2静止流体的平衡微分方程式取函数U(x,y,z)令：则有：所以压强差公式变化为：3、重力场中平衡流体的质量力势函数重力场中单位质量力为：fx=0,fy=0,fz=-g,

代入力势函数公式有：积分得：U=-gz+c4.2.2静止流体的平衡微分方程式三、等压面及其特性1、等压面：在静止流体中，由压强相等的点所组成的面。2、等压面微分方程式

fxdx+fydy+fzdz=03、等压面的性质：

I、等压面也是等势面；II、等压面垂直于单位质量力；证明：取等压面上任意微小线段dl=dxi

+dyj

+dzk，令R=fxi

+fyj

+fzk为等压面上任意一点的单位质量力，则有：4.2.2静止流体的平衡微分方程式只有cos(R,dl)=0，上式成立，所以单位质量力R与等压面垂直。III、两种互不掺混液体的分界面也是等压面。

4.2.2静止流体的平衡微分方程式4.2.3重力作用下静止流体中的压强分布规律一、流体静力学基本方程

4.2.3重力作用下静止流体中的压强分布规律一、流体静力学基本方程

推导：在重力场中，单位质量力分量为：fx=0,fy=0,fz=-g

代入压强差公式：得：即：对于不可压缩流体，ρ=常数。积分得：

p+gz=c

形式一

由上图，从均质连续流体中取任意两点1、2，假设其铅垂坐标分别为z1和z2

，静压强分别为p1

和p2，则上式又可写成：p1+gz1=p2+gz2=c简单变换为：形式二或形式三上三式统称为流体静力学基本方程，又称水静力学基本方程。二、流体静力学基本方程的能量意义和几何意义（1）位置水头（位置高度）：流体质点距某一水平基准面的高度.（2）压强水头（压强高度）：由流体静力学基本方程中的p/(

g)得到的液柱高度。（见图3-5中的hp）（3）静力水头：位置水头z和压强水头p/(

g)之和。4.2.3重力作用下静止流体中的压强分布规律（4）几何意义：在重力场中，对均质连续不可压缩静止流体，其静力水头为一确定值，换句话说静力水头的连线为一平行于某一基准面的水平线。

（5）压强势能：流体静力学基本方程中的p/项为单位质量流体的压强势能。（6）能量意义：在重力场中，对均质连续不可压缩平衡流体，任意一点单位质量流体的总势能保持不变。三、自由液面不可压缩流体压强基本公式（1）压强基本公式p=p0+gh

4.2.3重力作用下静止流体中的压强分布规律（2）淹深：自由液面下的深度。（3）液面压强的产生方式：外力施加于流体表面产生压强。一是通过固体对流体施加外力而产生压强；二是通过气体使液体表面产生压强；三是通过不同质的液体使液面产生压强。（4）帕斯卡原理：液面压强能够在流体内部等值传递的原理。hh'h4.2.3重力作用下静止流体中的压强分布规律4.2.4静压强的表示方法及其测量一、静压强的表示方法1、大气压强(pa）：由地球表面上的大气层产生的压强。2、国际标准大气压强(patm）：将地球平均纬度（北纬45º）,海平面z=0处，温度为15ºC时的压强平均值。定义为国际标准大气压强。且patm=101325Pa

。3、流体静压强的表示方法表压强（计示压强）：表压强是以大气压强为基准算起的压强，以pb表示。绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以pj表示真空度：低于大气压强，负的表压强称为真空度，以pz

表示。

3、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系绝对压强=大气压强+表压强表压强=绝对压强大气压强真空度=大气压强绝对压强4、静压强的计量单位应力单位：Pa、N/m2、bar液柱高单位：mH2O、mmHg标准大气压：1atm=760mmHg=10.33mH2O=101325Pa≈1bar

4.2.4静压强的表示方法及其测量4.2.4静压强的表示方法及其测量4.2.4静压强的表示方法及其测量大气压强（对流层：海平面-11km）:T=T0-βzp/p0=(1-βz/T0)g/(Rβ)T0=288K,p0=101325N/m2,β=0.0065K/mR=287N·m/kg·K飞机在大气对流层中飞行，地面大气压强为100kPa,温度为25度，若飞机上的气压计读数为68000Pa，求飞机所在高度。二、压强的测量1、测量仪表金属弹性式压强计：液压传动中的压力表。大量程直接观测。电测式压强计：压力传感器。远程动态测量。液柱式压强计：用于低压实验场所。精度高。2、测压管测量方法：

A点的绝对压强pj

=pa+ghA点的表压强pb=pj-pa=gh4.2.4静压强的表示方法及其测量3、U型测压计

4.2.4静压强的表示方法及其测量测压原理：等压面性质测压公式：如图3-8中，两种液体的交界面上的点1和点2是等压面，所以点1和点2的静压强相等，即p1=p2

。设A点的绝对压强为pj，则有:

p1=pj+1gh1

p2=pa+2gh2

p1=p2，所以pj+1gh1=pa+2gh2A点的绝对压强：pj=pa+2gh2-1gh1

A点的表压强：pb=pj-pa=2gh2-1gh1注意：工作液体的密度要大于被测液体的密度，并且这两种液体不能掺混。

4.2.4静压强的表示方法及其测量30【例】如图，若被测流体为水，测压计工作介质为水银，水银面高差h＝0.25m，求压强差p1-p2。【解】据U形测压计的工作原理可知：4、U型差压计4.2.4静压强的表示方法及其测量测试原理：存在两个等压面1’—2和3’—3在1’—2等压面上有：p1=p2=p3+1gh1在3’—3等压面上有：pB=p3+ghB

而：pA=p1+ghA即：pA=p3+1gh1+ghA=pB+1gh1+ghA-ghB

于是pA-pB=1gh1+ghA-ghB

=1gh1-g(hB-hA)=1gh1-gh1=(1-)gh14.2.4静压强的表示方法及其测量5、微压计4.2.4静压强的表示方法及其测量测试原理：连通容器中装满密度为2的液体，右边的测管可以绕枢轴转动从而形成较小的锐角，容器原始液面为O—O，当待测气体（p>pa)引入容器后，容器液面下降h

，而测管中液面上升h，形成平衡。根据等压面方程，有：

pj=pa+2g(h+h)表压强pb

=pj-pa=2g(h+h)而h=Lsin

根据体积相等原则有：变换为：所以pb

=2gL(sinα+(d/D)2)4.2.4静压强的表示方法及其测量一、容器做匀加速直线运动4.2.5流体的相对静止一、容器做匀加速直线运动例：如图所示，设盛有液体的容器以等加速度a，沿与水平面成角的倾斜面做直线运动。试分析平衡状态下流体的压强分布情况。4.2.5流体的相对静止解：第一步：建立适当的坐标系；第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位质量力分量：fx=0,fy=acos,fz=asin-g

第三步：根据相应几何关系确定等压面方程acosdy+(asin-g)dz=0

于是：4.2.5流体的相对静止第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公式。由压强差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz)得：dp=acosdy+(asin-g)dz积分得p=aycos+z(asin-g)+c其中c=p0

，于是得出p=p0+aycos+z(asin-g)

4.2.5流体的相对静止二、匀加速直线运动的两个特例[特例1]容器向左沿水平面作匀加速直线运动图示坐标系中：单位质量力：fx=0,fy=a,fz=-g

等压面方程：tanβ=a/g压强分布公式：dp=ady-gdz积分得p=ay+z(-g)+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+ay+z(-g)

=p0+g(a/g)y-z

=p0+gytanβ-z=p0+gh

定义h=ytan-z

为倾斜液面下的淹深4.2.5流体的相对静止4.2.5流体的相对静止[特例2]容器沿铅锤方向作匀加速直线运动向下运动时：图示坐标系中：单位质量力：fx=0,fy=0,fz=a-g

等压面方程：tanβ=0压强分布公式：dp=(a-g)dz积分得p=(a-g)z+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+(a-g)z=p0+(g-a)(-z)=p0+(g-a)h

此时h=-z

为液面下的淹深4.2.5流体的相对静止向上运动时：图示坐标系中：单位质量力：fx=0,fy=0,fz=-a-g

等压面方程：tanβ=0压强分布公式：dp=(-a-g)dz积分得p=(-a-g)z+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+(-a-g)z