山西省吕梁市闫家坡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省吕梁市闫家坡中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积．【解答】解析：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C．2.不等式的解集为P,且，则实数a的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷参考答案：A略3.设集合，则集合P的非空子集个数是（

）

A．1

B．3

C．7

D．8参考答案：B略4.如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么（

）A、

B、C、

D、参考答案：C略5.已知直线及与函数图象的交点分别是A、B，与函数的交点分别是C、D,则直线AB与CD

（▲）

A.平行

B.相交，且交点在第Ⅱ象限

C.相交，且交点在第Ⅲ象限

D.相交，且交点在原点参考答案：D略6.设，则“”是“”的（

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略7.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，,，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为A．1∶2

B．1∶3

C．1∶4

D．1∶5参考答案：B8.下列叙述中正确的是

（

）A、从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B、频数是指落在各个小组内的数据C、每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D、组数是样本平均数除以组距参考答案：C9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生．参考答案：15略10.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A） （B）（C） （D）参考答案：D分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为

．参考答案：2x﹣y﹣1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x+1nx，知，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程．【解答】解：∵y=x+1nx，∴，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），整理，得2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．12.已知点O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若点P在y袖上，则实数m=．参考答案：【分析】利用坐标来表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．【解答】解：∵O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P在y袖上，∴可设=（0，y），∵=2+m，∴（0，y）=2（﹣1，3）+m（3，﹣7）=（3m﹣2，6﹣7m），∴3m﹣2=0，解得m=【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于最基本的题目．13.已知点F是抛物线的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为______．参考答案：【分析】画出满足题意的图象，可得M与原点重合时，四边形AFBM面积最小，进而得到答案．【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM的面积最小，则MF最小，即M距离准线最近，故满足条件时，M与原点重合，此时，此时四边形AFBM面积，故答案：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质。14.若不等式≤≤，在上恒成立，则的取值范围是__________．参考答案：15.已知是两个不同的平面，是一条直线，且，则是的

▲条件。(填：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)参考答案：充分不必要若，则。当时，不一定有，所以是的充分不必要条件。16.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为．参考答案：y2=2x【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】判断F为A，B的中点，设出B，求出A，C坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，可知F（）是AB的中点，设B（，﹣n）n＞0，则A（），C（﹣，n），=（2p，2n，=（0，2n），，可得：4n2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．17.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为_____________．参考答案：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不满足条件，输出。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（I）在答题卡上填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

文科生理科生合计获奖5

不获奖

合计

200

（II）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式：，其中参考答案：（I）

文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200

3分，

5分所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.

6分（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为.

7分的所有可能的取值为，且.

8分().

9分所以的分布列如下11分.

12分19.设函数。(1)求的单调区间；(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围；(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数。参考答案：解：（1）函数的定义域为.

由得;

由得,

则增区间为,减区间为.

(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,

由,且,

时,

的最大值为,故时,不等式恒成立.

(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)。所以，当a＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解；当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解.

综上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解.

20.已知：．，且

（1）求及

（2）设的最小值为，求的值参考答案：解析：（1）由已知：．

==

=

====（2）==-1令，则=①当时，由题意，解之可得②当时，由题意最小，无解③当时，由题意，解之可得，舍去综合①②③可知21.不等式选讲

已知，．（I）求证：，；（II）若，求证：．参考答案：（1）

……