山西省吕梁市汾阳海洪中学高一数学理测试题含解析

山西省吕梁市汾阳海洪中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中是奇函数，且在上单调递增的是

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.如图，正六边形ABCDEF中，=

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：略3.已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，则（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵0=log31＜a=log32＜log33=1，∴0＜b=（log32）2＜a=log32，∵c=log4＜log41=0，∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．4.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是（

）A． B． C．1：1 D．参考答案：A5.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B【分析】由二倍角的正弦公式以及已知条件得出和的符号，由此得出角所在的象限.【详解】由于点位于第三象限，则，得，因此，角为第二象限角，故选：B.【点睛】本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题.

6.函数的图像关于原点对称，则的一个取值是A．

B．

C．

D．参考答案：C7.水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则△ABC的面积为（）A．6 B．3 C． D．参考答案：A【考点】平面图形的直观图．【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：直观图还原成平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=4，AC=A′C′=6，∴△ABC的面积为=12．故选：A．8.△ABC中，已知，，则∠C等于(

)A．30°

B．45°

C．60°

D．135°参考答案：D9.函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（

）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间[-3，0]上的值域为

参考答案：[-4，0]略12.下列几个命题①方程有一个正实根，一个负实根，则．②函数是偶函数，但不是奇函数．③函数的值域是[－2,2]，则函数的值域为[－3,1]．④设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称．⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1．其中正确的有_______________．参考答案：①⑤13.将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，所在图象对应的函数解析式为．参考答案：y=3sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=3sin[2（x+）﹣]=3sin（2x+），故答案为：y=3sin（2x+）．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基础题．14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，ab=60，面积S△ABC=15，△ABC外接圆半径为，则c=

．参考答案：3【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和三角形的面积公式可得sinC，再由正弦定理可得c值．【解答】解：∵△ABC中ab=60，面积S△ABC=15，∴S=absinC=×60×sinC=15，解得sinC=，∵△ABC外接圆半径R=，∴由正弦定理可得c=2RsinC=2×=3．故答案为：3．15.已知函数的图像关于点P对称，则点P的坐标是

．参考答案：16.已知数列的前四项为，写出该数列一个可能的通项公式为=

。参考答案：17.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为． 参考答案：9π【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE，因为AE=， 所以侧棱长PA==，PF=2R， 所以6=2R×2，所以R=， 所以S=4πR2=9π． 故答案为：9π． 【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当时，求的值域．

参考答案：（1），（2）值域为。

19.2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【解答】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=，故CD=﹣hcotα．设y=AD+DC+BC，则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜），由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率，由于α∈（0，），点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，那么α=，故当α=时，水渠中水的流失量最小．20.在等差数列中，，．令，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）设数列的公差为，由得解得，∴

（2）∵∴

（3）由（1）知，，，假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则，即

经化简，得∴∴（*）

当时，（*）式可化为，所以

当时，又∵，∴（*）式可化为，所以此时无正整数解.综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.21.已知函数，满足：①；②．（1）求的值．（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（），，又，∴，∴，又，∴，．┈┈┈┈5分（2）原不等式可化为恒成立。方法一：设，则是关于的一次函数，在[－1，1]上单调，∴即∴┈┈┈┈15分方法二：原不等式仍可化为，对恒成立。即，∴当时，恒成立，又则--------------------10分当时，恒成立，又则--------------------15分22.设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范围．参考答案：【考点】3X：二次函数在闭区间上的最值；3W：二次函数的性质．【分析】（1）若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1，根据二次函数在[0，4]上的单调性可求函数的值域（2）由题意可得函数在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a，a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a的范围（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：因为f（x）=x2﹣2tx+2=（x﹣t）2+2﹣t2，所以f（x）在区间（﹣∞，t]上单调减，在区间[t，+∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t﹣x），（1）若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1．①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，10]；所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．

…（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．①若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1，所以f（x）在区间（﹣∞，1]上单调减，在区间[1，+∞）上单调增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max=f（a）=（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，从而﹣1≤a＜0．综上，a的取值范围为区间[﹣1，1]．

…（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈?．②当0＜t≤2时，M=f（4）