材料现代研究方法2章x

第二章晶体投影和倒易点阵§2-1空间点阵一、晶体的描述数学抽象实际原子规则排列于空间规则排列的几何点构成空间点阵空间格架（晶格）平行直线将点连接几何单元（晶胞）

刚球模型晶格晶胞二、空间点阵空间点阵：点子的空间排列称为空间点阵空间点阵具有周期性。阵点（结点）：点阵中的每个几何点称为阵点。晶格：表示晶体中原子排列形式的空间格子叫晶格。三、晶胞、晶系和点阵类型1、晶胞晶胞：组成晶格的最基本的几何单元。原胞：每个角上有一阵点的最小平行六面体称为原胞选取晶胞应具有代表性，能更好的代表点阵的对称性。晶格常数(点阵参数)：晶胞各边尺寸a、b、c。晶胞各边之间的夹角以、、表示。2、晶系：由a、b、c、a、b、g6个参数按照晶胞的大小和形状可以将各种晶体归于7种晶系。晶系点阵常数间的关系和特点实例三斜单斜斜方(正交)正方立方六方菱方abc,abg90oabc,a=b=

90o

g(第一种)

a=g=

90o

b(第二种)abc,a=b=g=90o

a=bca=b=g=90o

a=b=ca=b=g=90o

a=bca=b=

90og=120oa=b=ca=b=g

90oK2CrO7-SCaSO4.2H2Oa-S,Ga,Fe3Cb-Sn,TiO2Cu,Al,a-Fe,NaClZn,Cd,Ni-AsAs,Sb,Bi7种晶系3、14种布拉菲点阵：7种晶系可以形成14种空间点阵。三斜点阵

abc,abg90o单斜

abc,a=b=

90o

g

斜方（正交）

abc,a=b=g=90o

正方点阵a=bca=b=g=90o立方点阵a=b=ca=b=g=90o六方点阵a=bca=b=

90og=120o菱方点阵a=b=ca=b=g

90o四、布拉菲点阵与晶体结构布拉非点阵：由等同点(表示原子分布规律的代表点)构成的点阵叫布拉菲点阵（简称点阵）。晶体结构：晶体中原子的集合（或分布）。简单金属，晶体结构和点阵没有差别。如:Cu,Ag,Au,Al,Ni,Pt,Pb,-Fe等都是面心立方(FCC).而V,Nb,Cr,Mo,W,-Fe等都是体心立方(BCC).但是对于其他一些具有复杂结构的金属和合金，晶体结构就不同于点阵。如：Zn,Cd,Mg,Be,-Ti,-Zr,等金属都具有简单六方点阵，原子不仅分布在晶胞顶点上，而且还分布在(1/3,2/3,1/2),(1/3,-1/3,1/2),(-2/3,-1/3,1/2)处。晶体结构相似而点阵不同具有相同点阵的晶体结构五、晶胞与原胞选择晶胞应尽量满足的条件：

1、能反映点阵的周期性还能包含整个阵点。

2、能反映点阵的对称性。

3、晶胞的体积最小。第一种方法：保证对称性的前提下选取体积尽量小的晶胞。这种反应点阵对称性的晶胞也叫结构胞。第二种方法：只要求晶胞的体积最小。而不一定反映点阵的对称性。通常称为原胞。

FCC的原胞与晶胞晶胞体积a3原胞体积a3/4BCC的原胞与晶胞晶胞体积a3原胞体积a3/2密排六方晶体的晶胞与原胞六、晶面指数和晶向指数晶面：穿过晶体的原子面（平面）称为晶面。晶向：连接晶体中任意原子列的直线方向称为晶向。晶面、晶向指数：表示各种晶面和晶向位向的统一标号。（通用密勒指数）一、晶面和晶向指数的确定（一）、三指数表示晶面指数的确定及表示方法：

1.确定坐标系：2.求截距：求出待定晶面在三个轴上的截距

确定三要素：原点、坐标轴、单位长度3.取倒数：取这些截距的倒数

4.化简：将上述倒数化为最小的整数，并加上园括号“()”，即为晶面指数。如（110）在立方晶体晶格中最常用有三个晶面，如右图所示，分别为：晶面指数一般可记为。如果晶面得到负截距则在所得到指数上方冠以负号，如（）(hkl)

（110）、（111）、

（100）最常用有三个晶面，晶向指数的确定及表示方法1.确定坐标系：三要素,原点、坐标轴、单位长度2.引平行线：3.求坐标：通过坐标原点引一直线平行于所求的晶向求出该直线上任一点的坐标4.化简：按比例化为最小整数，加一方括号，“[]”，即为所求晶向指数。如[112]晶向指数一般可记为。如果晶向得到负坐标值则在所得到指数上方冠以负号，如[]注意：一个晶面指数或晶向指数是代表一组相互平行的另外：在立方晶格中，具有相同指数的晶面与晶向之间是相互垂直的。在立方晶体晶格中最常用有三个晶向，如右图所示，分别为：、［110］［111］、［100］最常用有三个晶向，晶面或晶向（在其上原子的排列方式是相同的）[uvw]晶面族{hkl}及晶向族<uvw>晶面族{hkl}

：表示位向不同但其原子排列相同的一组晶面晶向族<uvw>:表示方向不同但其原子排列相同的一组晶向如：｛100｝表示(100)、(010)、(001)三个晶面｛110｝表示(110)(110)(101)(101)(011)011)六个晶面｛111｝表示(111)(111)(111)(111)四个晶面

〈100〉表示[100]、[010]、[001]等一组晶向七、晶体的对称性(一)、对称要素和对称变换对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为对称性。对称变换（操作）：借助某种几何要素，能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作。对称要素（元素）：对物体（或图形）进行对称变换时所借以参考的几何要素。1、宏观对称要素：仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称变换称宏观对称变换。所借助参考的几何要素为宏观对称要素。（1）对称中心(中心反演）用符号“i”或表示为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反（反演，反伸）（2）(回转)对称轴:为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定角度，各个相同部分就发生一次重复，即整个物体复原需要的最小转角称为基转角（）。有1，2，3，4，6次五种只能有1，2，3，4，6次五种回转对称轴分别以1，2，3，4，6符号表示（3）对称面：为一假想的平面，相应的对称变换为对此平面的反映。用符号“m”表示（4）旋转–反演轴（倒转轴）：是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的倒反。用符号表示

一次旋转-反演轴就是对称中心二次旋转-反演轴就是对称面三次旋转-反演轴四次旋转-反演轴2.微观对称要素：还包括平移对称性。（1）平移轴为晶体结构中一根假想的直线，图形沿此直线移动一定距离，可使相同部分重复。使图形复原的最小距离称为平移轴的移距。晶体结构中任一行列方向都是一个平移轴，行列的结点间距即为平移轴的移距，因此任何一个空间格子均有无穷多的平移轴。（2）

滑移(对称)面：晶体结构中一个假想的平面，当结构图形对平面反映，并在平行此平面的方向上移动一定距离后而复原。结构中的每一质点都和与其相同的质点重合。（先平移后反映，效果相同）符号：如平移a/2b/2c/2写作a,b,c;

如沿对角线平移1/2写作n；如沿面对角线平移1/4写作d。(a)为对称面(b)为沿a滑移a/2的滑移面a（3）螺旋(对称)轴

晶体结构中一根假想直线，当结构围绕此直线旋转一定角度，并沿此直线方向平移一定距离后，结构中每一质点都和与其相同的质点重合。

旋转+平移（先平移后旋转等效）左旋与右旋—螺旋轴按旋转方向分为左旋、右旋、中性三种，左旋符合左手法则，右旋符合右手法则，若同时按左右旋的性质相同时称为中性螺旋轴。轴次—螺旋轴按基转角也分为二次、三次、四次和六次。每种轴次根据其移距t与平行该轴的结点间距T的相对大小又可分为一种或几种

螺旋轴的国际符号螺旋轴的国际符号以右旋为标准而确定：

螺旋轴符号ns,S=1,2,….,n-1一次螺旋轴：即为平移轴;二次螺旋轴：21(t=1/2T)，如NaCl；三次螺旋轴：31(t=1/3T)，32(t=2/3T)，如-石英

右旋左旋四次螺旋轴：41(t=1/4T)，42(t=2/4T)，43(t=3/4T)，如金刚石

右旋中性左旋六次螺旋轴：61(t=1/6T)，62(t=2/6T)，63(t=3/6T)，64(t=4/6T)，65(t=5/6T)11种螺旋轴：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65s是自然数n为轴次右旋中性左旋二次螺旋轴21：旋转180o后平移1/2T.三次螺旋轴31和32：31表示右旋，移距t=1/3T32表示左旋，移距t=1/3T(a)对称轴(b)螺旋轴(a)对称轴3(b)右旋31

(c)左旋32四次螺旋轴：41(右旋)、42(中性)、43(左旋)。41、42和43按右旋方向的移距分别为1/4T、2/4T和3/4T。42为双轨旋转，在两个晶胞(2T)的周期内复原。43按左旋方向的移距为1/4T。(a)对称轴(b)右旋41(c)中性42(d)左旋43(二)、点群及空间群1、点群

晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称要素在一点上组合运用而得出，但这些组合并不是任意的，只能有32种对称类型，称为32种点群。点群描述理想晶体的宏观外形。晶体学中，点对称操作只能有轴次为1,2,3,4,6的旋转轴和反演轴。（对称中心=，镜面=）共有10种对称操作。组合成32种点群。2、空间群

空间群用以描述晶体中原子组合的所有可能方式，它是通过宏观和微观对称要素在三维空间的组合而得出的。属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群。晶体学家们已经应用空间群的几何理论证实了晶体中可能存在的空间群有230种，分属32种点群。空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。

7个晶系和14种布拉菲点阵的点群和空间群数正方菱方八、常见晶体结构及其几何特征几个描述晶体的几何特征参数：1、配位数：一个原子周围的最近邻原子数称配位数。通常用CN表示。如CN12。2、紧密系数K（或堆垛密度）:3、晶胞内原子数n：每个晶胞内所包含的原子数4、间隙：球形原子间的空隙。（一）体心立方晶格【BCC】八个原子占据立方体八个角，在立方体的体积中心还有一个原子。（如右图）1晶胞内原子数：1/8×8+1=22原子半径：a3配位数：84堆垛密度：（二）面心立方晶格【FCC】八个原子占据立方体八个角，在立方体各面中心还有一个。（见右图）1晶胞内原子数：1/8×8+1/2×6=43配位数：124堆积密度：2原子半径：a（三）密排六方晶格【HCP】以12个原子为顶点构成简单六方柱体，在柱体上下两个底面中心还各有一个原子。另在两个底面之间还有3个原子。理论计算表明：c/a=1.633

§2-2晶体投影晶体投影：按一定规则表示各晶面或晶向分布的图形。一、球面投影将晶体放于球心。投影方法有两种：迹式：晶面（大园）晶向（点）极式：晶面（极点）晶向（大园）一般晶面采用极式，晶向采用迹式。测角和旋转欲测P1和P2间的夹角必须在大园上。欲测晶体绕轴旋转，则任意极点将绕垂直转轴的小园由起点P和终点P’间的转角。刻度球及其应用经线；纬线纬度差经度差二、极射投影1、定义投影点：N极或S极。投影面：与NS轴垂直的平面。2、极射赤面投影投影点：N极或S极。投影面：赤道平面。2、极射投影的性质(1)经线的投影为直线（直径）(2)平行于投影面的大园其极射投影是一个园(投影基圆)，圆心为投影中心。

(3)平行于投影面的晶向或晶面法向，其投影必在基园上。

(4)只有半个球上极点的极射投影位于基园内。

(4)球面上大园的极射投影是大园弧或直径。

(5)球面上小园的极射投影也是小园。(6)与NS轴平行的小园的极射赤面投影为小圆弧。三、投影网及其应用1、极式网

(投影面：赤道面或与其平行的面，观测点N或S极组成：直径和同心圆应用：可测量绕投影基园中心轴的转动角。测量落于同一直径上两极点的夹角。应用不广泛

2、乌氏网及其应用乌氏网：刻度球的极射投影。光源：赤道上某点投影平面：垂直于光源和球心的连线应用：

1)、测P1和P2间夹角：转动乌氏网使P1和P2位于同一经线上测纬度差。

2)、旋转：将旋转轴[uvw]转到N或S极后使所有极点转动角。四、标准投影

投影面为低指数的重要晶面或投影中心为低指数的重要晶向的极射投影为晶面的标准投影或晶向的标准投影。下图为立方系(001)标准极图。六方系锌的（0001）标准极图§2-3倒易点阵一、倒易点阵的定义

若正点阵的基矢为a、b、c。如果假设有一点阵其基矢为a*、b*、c*。两种基矢间存在如下关系：

a*

·a

=b*·b=c*·c=1a*·b

=

a*·c=

b*·a=

b*·c=

c*·a=

c*·b=0则称基矢a*、b*、c*所确定的点阵为基矢a、b、c

所确定的点阵的倒易点阵

倒易点阵也可用另一数学公式表达：晶体点阵中晶包体积为v=

c

·

(a

b)

因为:

c*·c=1=v/v

所以：

c*·c=c

·

(a

b)/v即：c*=(a

b)/v同理：

a*

=(b

c)/vb*=(c

a)/v二、倒易点阵的性质

1、正点阵晶胞的体积v与倒易点阵晶胞的体积v*成倒数关系。v*=1/v

证明：v*=

a*

·(b*

c*)=1/v3{(b

c)·[(ca)(ab)]}

=1/v3{(b

c)·[((c

a)·

b)a-((c

a)·

a)

b]}

=1/v3{(b

c)·

va}=1/v

2、正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易，即：

a

=(b*

c*)/v*

b=(c*

a*)/v*

c=(a*

b*)/v*证明：(b*

c*)/v*=v[(c

a)/v(ab)/v]

=1/v[((c

a)·

b)

a-((c

a)·

a)

b]=

a3、任意倒易矢量

g=ha*+kb*+lc*必然垂直于正点阵中的（hkl）面。证明：

g·AB=

g·(

OB

–

OA)

=[ha*+kb*+lc*]·(b/k-

a/h)=0所以

g垂直AB同理：

g垂直BC和CA所以

g垂直于（hkl）面。

4、|g|=1/d(hkl)

证明：因为M到原点的距离OM就是(hkl)的面间距d(hkl)d(hkl)=

OA·

g/|g|=(1/|g|)(a/h)·(ha*+kb*+lc*)=1/|g|

所以|g|=1/d(hkl)三、实际晶体的倒易点阵（1）简单立方点阵

简单立方点阵的倒易点阵仍为简单立方，晶胞边长为1/a。

(2)体心立方点阵

BCC点阵的倒易点阵为FCC，晶胞边长为2/a

(3)面心立方点阵

FCC点阵的倒易点阵是BCC，其晶胞边长为2/a。

即FCC点阵和BCC点阵互为倒易点阵

(4)简单六方点阵

简单六方点阵的倒易点阵仍为简单六方。三、倒易点阵在推导晶体学关系中的应用1、晶带方程晶带：相交于同一直线的两个或多个晶面构成一个晶带。交线[uvw]叫做晶带轴。与晶带轴相交的所有平面(hkl)叫晶带面。晶带方程：hu+kv+lw=0证明：某个晶带面(hkl)可由倒易矢量g=ha*+kb*+lc*表示，晶带轴[uvw]由矢量

r=ua+vb+wc表示。则：g·r=(ha*+kb*+lc*)·(ua+vb+wc)=hu+kv+lw=0

(1)、晶带的极射投影晶带轴：迹点晶带面：极点（位于同一大园上）。晶带可能是：1)投影基园(水平晶带)2)直径

(直立晶带)3)大园弧

(倾斜晶带)(2)求(h1k1l1)和(h2k2l2)两个晶面的交线即晶带轴。

假定晶带轴为[uvw]，由晶带方程可得：

h1u+k1v+l1w=0

h2u+k2v+l2w=0

解此方程组，可求得[uvw]:u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1w=h1k2-h2k1利用行列式方便记忆：

h1k1l1h1k1l1

h2k2l2h2k2l2uvw(3)求[u1v1w1]和[u2v2w2]决定的平面。

假定所求平面为(hkl),则分别应用晶带方程得：

u1h+v1k+w1l=0

u2h+v2k+w2l=0解此方程组，可求得(hkl):h=v1w2-v2w1k=w1u2-w2u1l=u1v2-u2v1利用行列式方便记忆：

u1v1w1u1v1w1

u2v2w2u2v2w2hkl

2、晶面间距

设晶面(hkl)的晶面间距为d(hkl)，根据倒易点阵性质：1/d2(hkl)=

ghkl·ghkl

=(ha*+kb*+lc*)·(ha*+kb*+lc*)

=h2(a*)2+k2(b*)2+l2(c*)2+2hk

a*·b*+2kl

b*·c*+2lh

c*·a*

(a*)2=|bc|2/v2=b2c2sin2/v2;

(b*)2=c2a2sin2/v2(c*)2=a2b2sin2/v2a*

·b*=1/v2[(bc)·(ca)]=1/v2[(b·c)(c·a)-(b·c)c2]

=abc2/v2(coscos-cos)b*·c*=a2bc/v2(cos

cos-cos)c*·a*=ab2c/v2(cos

cos-cos)v2=|(a

b)·

c|2=|a

b|2c2cos2

(a

b,

c)

=|a

b|2

c2[1-sin2(a

b,

c)]=a2b2c2sin2-|(ab)c|2

=a2b2c2sin2-[c(ab)]·[c(ab)]

=a2b2c2sin2-[(