时间序列分析(西华师范大学张刚)

西华师范大学经济系张刚时间数列分析

第一节时间数列分析方法

第二节时间数列指标分析

第三节时间数列构成因素分析第一节时间数列

及分析方法概述一、时间数列的意义二、时间数列的种类三、时间数列的编制原则分析方法时间数列——又称为动态数列。把反映某一现象发展变化的一系列指标数值按时间先后顺序排列起来所形成的数列。两个基本要素：现象所属时间、指标数值。时间数列分析方法确定性时间数列分析方法——本课程只介绍这类分析方法。随机性时间数列分析方法——根据随机过程理论，对随机时间数列进行分析的方法，一般称为时间序列分析方法。如Box-Jenkins方法。

二、时间序列的种类按指标的表现形式不同，分为三种：（一）总量指标数列（绝对数时间数列）最基本的时间数列；反映现象在不同时间上达到的绝对水平、总规模；按指标所反映的时间状况不同分为：时期数列——现象在不同时段内的活动总量；时点数列——现象在不同瞬间时点上的总量。二者的主要区别在于：时间状况、指标数值的可加性、及指标数值与时间长短的关系等方面。（二）相对指标数列（三）平均指标数列这两种数列都是由有关总量时间数列派生的；反映现象相对水平或平均水平的发展变化过程；不同时间上的指标数值不能相加。三、时间数列的编制原则基本原则是保证可比性，主要包括：时间上可比总体范围可比计算口径可比经济内容可比第二节时间数列的

水平分析指标一、时间数列水平分析指标二、时间数列速度分析指标一、时间数列水平分析指标（一）发展水平现象在不同时间上所达到的水平的数量反映。也就是时间数列中的各项指标数值。按指标表现形式不同分为总量水平、相对水平、平均水平。按其在数列中的位置来看，分为最初水平、中间水平和最末水平。从在分析中的作用看，分为报告期水平、基期水平.文字表述：“为”、“（发展、增长…）到。”（二）平均发展水平平均发展水平（序时平均数或动态平均数）现象在不同时间上发展水平的平均数，。说明现象在一段时期内所达到的一般水平。与一般平均数（也可称为静态平均数）的异同：同：都是将数量差异抽象化，反映现象的一般水平.异：1.所平均数值的时间不同。（详见教材）2.所说明的问题不同。3.计算方法也有不同。计算方法：不同类型的时间数列有不同的计算方法。1.总量数列的序时平均数计算公式：计算结果表示：某段时间内平均每期的水平.

例：

根据某年各月商品销售收入数据，计算该年的月平均销售收入。（1）时期数列——简单算术平均法2.时点数列的序时平均数①

连续时点数列（已知每天数据，视为连续时点数列）

——简单算术平均法

②

不连续时点数列——见下页

当时点间隔相等，上式简化为:“首末折半法”—先求分段平均数=相邻两点数据的简单算术平均再求全期总平均数=分段平均数的加权算术平均

（权数f=时点间的间隔长度）计算步骤和公式例二时间1月1日5月31日8月31日12月31日人数(万人)362390416420设某地区1999年各统计时点的社会劳动者人数如下表，计算全年的平均社会劳动者人数。（实例）例，根据表7-1中年末从业人员数数列，计算1986～1999年间的年平均从业人数。2.相对数数列或平均数数列的序时平均数相对数（或平均数）用c表示，有c=a/b，a、b为总量指标。求各期c的平均一般不能采用简单算术平均法，即因为各期数据Ci的对比基础bi不同，它们对全期总平均水平的影响作用应轻重有别.计算公式1.分别计算其分子、分母的序时平均数（先判断分子分母是什么指标、是时期指标还是时点指标？）2.对比得

：上式实质上等于对各期C加权算术平均。（实例）例：表7-1。计算这1986-1999年间：（1）我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重；（2）年平均劳动生产率。相对数序列的序时平均数

（计算结果）解：（1）第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重（2）见教材。（三）增减量和平均增减量1.增减量（增长量）增减量=报告期水平－基期水平说明现象在观察期内增减的绝对数量；基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分：*逐期增减量＝报告期水平－上期水平说明现象逐期增减的数量。*累计增减量＝报告期水平－固定基期水平说明一段时期内总共增减的数量。二者关系：

累计增减量＝相应时期的逐期增减量的总和。2.平均增减（增长）量——逐期增减量的序时平均数；——其方法是算术平均法。二、时间序列的速度分析指标（一）发展速度（二）增减速度（三）平均速度

平均发展速度平均增减速度（一）发展速度1.发展速度＝报告期水平／基期水平说明现象在观察期内发展变化的相对程度；

有环比发展速度与定期发展速度之分*环比发展速度＝报告期水平／上期水平*定期发展速度＝报告期水平／固定基期水平二者关系：定期发展速度（总速度）＝相应时期的环比发展速度之积。反之，两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度。（二）增减速度（增长率）增长量与基期水平之比，说明现象增长变化的相对程度；2.基期不同，分环比增长速度与定期增长速度环比增减速度＝逐期增减量／上期水平＝环比发展速度－１定期增减速度＝累计增减量／固定基期水平＝定期发展速度－１二者关系：总增减速度不等于相应环比增速之和（积）速度的表现形式和文字表述一般表示用%、倍数，也有用‰、番番数与倍数的区别从基期到报告期翻m番，则有：报告期水平=基期水平发展速度—发展为、相当于、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）、…

报告期水平比基期水平增长（了）的…%；

以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。（三）平均速度平均增减速度表示逐期增减变动的平均程度，即各期环比增减速度的一般水平，但不能对各环比增减速度直接平均，因为：算术平均法或几何平均法都不符合增减速度这种现象的性质。计算方法：平均增减速度=平均发展速度—1平均发展速度的计算方法1.几何平均法（水平法）以xi表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度应该采用几何平均法：同一种方法，资料不同，有以上三种计算形式。ｎ＝环比发展速度的个数＝数列发展水平项数－１用所求平均发展速度代表各环比发展速度，推算的最末一期的水平与实际相等，推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等。2.着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。3.如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。几何平均法的特点方程式法（累计法）

的基本思想各期实际水平的总和为：

再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足：用各期的环比发展速度xi去推算各期水平，则：上述方程的正根=平均发展速度。方程式法的特点其出发点是，用所求的代表各期的环比发展速度，则推算的各期水平之总和与实际相等。

侧重于考察全期总水平，计算结果取决于整个计算期各期水平的累计总和，故称为“累计法”。适用于：关心整个考察期内的总量时。3.应用平均速度应注意的问题总平均速度与各环比速度、分段平均速度结合；当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度，而适宜直接用绝对数进行分析。将速度与水平二者结合——常常用到增长1%的绝对值来补充说明增长速度（环比、定期）。增长1%的绝对值=

表示：速度每增长一个百分点所对应增加的绝对量。例年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2001500—60—2002600208440假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表：甲企业：增长1%的绝对值=5（万元）乙企业：增长1%的绝对值=0.6（万元）补充对于有季节因素影响的现象，为了消除季节因素的影响，常常以上年同期（季度、月等）为基期，计算：

年距增长量（也称同比增减量）；年距增长速度（也称同比增减速度）；年距发展速度（也称同比发展速度）。第三节时间数列构成因素分析一、时间数列的分解与组合二、长期趋势的测定和分析三、季节因素的测定与分析四、循环周期的测定与分析一、时间数列的分解与组合（一）时间数列的构成因素（二）时间数列的组合模型（一）时间序列的构成要素长期趋势(SecularTrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularVariations)1.长期趋势

(SecularTrend)现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态；由影响时间序列的基本因素作用形成；是时间序列中最基本的构成要素；可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势或分为：线性趋势和非线性趋势。2.季节变动

(SeasonalFluctuation)是一种使现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动的影响因素。通常表现为现象在一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化，有旺季和淡季之分。是一种周期性的变化；周期长度小于一年；形成原因——有自然因素，也有人为因素。图3.循环变动

(Cyclical Variation)

这种因素的影响使现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。不同于长期趋势T表现为单一方向的持续变动，C表现为波浪式的涨落交替的变动。又不同于季节周期周期长度不同模型识别的难易程度不同形成原因不同4.不规则变动

(IrregularVariations)包括随机变动和突然变动。随机变动—现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。突然变动—战争、自然灾害或其它社会因素等意外事件引起的变动。影响作用无法相互抵消，影响幅度很大。

一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。（二）时间数列的组合模型Y=T+S+C+I（加法模型）Yi=Ti+Si+Ci+Ii

Y=T×S×C×I（乘法模型）Yi=Ti×Si×Ci×Ii在加法模型中各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。季节变动和循环变动的数值在各自的周期时间范围内总和为零；不规则变动的数值从长时间来看，其总和也应为零。加法模型中，各因素的分解是根据减法进行（如：Y–T=S+C+I）.在乘法模型中只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。季节变动和循环变动的数值在各自的一个周期内平均为1（or100%）；不规则变动的数值从长时间来看，其平均也应为1（or100%）。乘法模型中，各因素的分解是根据除法进行（如:Y/T=SCI）。时间数列的不同组合模式趋势模式：Y=TI趋势季节模式：Y=TSI趋势季节循环模式：Y=TSCI二、长期趋势的测定和分析（一）研究长期趋势的目的和意义（二）测定长期趋势的基本方法移动平均法方程拟合法（一）研究长期趋势的目的和意义认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为制定相关政策和进行管理提供依据；通过对现象过去变动规律的认识，对事物的未来发展趋势做出预计和推测；测定出趋势因素后，便于从原时间数列中剔除趋势因素，更好地分解、研究其他因素。（二）测定长期趋势的基本方法——

1.移动平均法(MovingAverageMethod)移动平均，是选择一定的平均项数（常用N表示），采用逐项递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值；这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。例见教材表7-5移动平均法的特点

(应注意的问题)移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强；移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；当N为奇数，只需一次移动平均；当N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）；见表7-7(续)3.若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而只反映T，应以周期长度作为移动间隔的长度，即：N=周期长度若是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均（续）4.新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。N越大，缺项越多。

N为奇数时，新数列首尾各少（N-1）/2项；N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少N/2项。（续）5.移动平均法可以呈现出现象的长期趋势，但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时，才可用移动平均值作为最近一期的预测值。需要说明的是，为了预测方便，也可以将移动平均值放在所平均时间的最末一期。股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）就是采用这种方法。EXCEL中移动平均程序即是这样处理的。但当T有升降趋势时，须注意移动平均值的时滞性。2.趋势方程拟合法——利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示数列长期趋势的一种方法。在只包含T、I中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。趋势方程的选择定性分析。利用有关理论知识、结合现象变化的性质特点进行判断；绘制观测值散点图或折线图。这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型，是最常用也是比较有效的一种方法。根据数列的数据特征加以判断。常用的判断方法有：若数列各项数据的K次差（K级增长量）大致为一常数，可相应的对该数列拟合K次曲线；若数列的环比发展速度大致为一常数，可对该数列拟合指数曲线。趋势模型的选择(续)4.对混合趋势形式的数列，也可采取分段拟合的方法，分别考察各阶段的趋势变化。但若要对未来的趋势发展做出预测，通常只能根据最后一阶段的趋势方程进行外推预测。模型的选择(续)5.若有多种曲线形式可供选择，则应选择其中均方误差最小者为宜。

均方误差MSE的计算公式是：用最小平方法估计方程参数(Least-squareMethod）按最小平方法估计方程参数，要求满足两个条件：实际上，能满足下面条件，上一个条件自然能够满足。对于不同的曲线形式，从满足离差平方和最小的条件出发求得模型的参数估计值——最小平方法（最小二乘法）。直线趋势方程的参数估计直线趋势方程为：$Yt

=a+bt$Yt代表时间序列的趋势值;

t

代表时间标号，常常取1、2、3、…n；

a

为趋势线在Y轴上的截距；

b

是趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量；其中,a、b

为待估计的直线趋势方程的参数1.根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为解得：这里的原理和计算公式都与回归方程的参数估计相同。只需把时间变量当作自变量.三、季节变动的测定和分析（一）研究季节变动的目的和意义（二）测定季节变动的常用方法原资料平均法趋势剔除法（一）季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动测定目的确定现象过去的季节变化规律；消除时间序列中的季节因素（更好地研究时间数列中的其它成分）。（二）测定季节变动的基本方法

——1.原资料平均法

假定：Y=a.S.I

即假定时间数列为水平趋势（T=a，为常数）且无循环波动。根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素，计算季节比率S（或称为指数季节）。也可称为同期平均法。原资料平均法计算季节比率的步骤：1.计算同期平均数

=各年（或各季节周期）第期数据的平均；相当于2.计算全部数据的总平均数（相当于a）；3.计算各期（季节）的季节比率：(季节比率计算表)年份社会商品零售额(亿元)一季度二季度三季度四季度12345662.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3合计456.5644.3582.4439.82123.0同季平均76.08107.3897.0773.3088.46全年合计293.7324.0346.0347.5388.5423.32123.088.46季节比率(%)86.01121.39109.7382.86100.00例：

已知某地最近几年社会商品零售额的数据如下表。2.趋势剔除法假定：Y=T.S.I基本思想：先将数列中的趋势予以消除，再计算季节指数，其步骤：

计算长期趋势值T——常用移动平均值作为T（平均项数N=季节变动的周期长度，所以平均值中不含S、I）——也可用方程拟合法计算长期趋势值。趋势剔除法（续）2.从原数列中剔除趋势值，得季节变动和不规则变动相对数——Y/T=S.I3.消除不规则变动I，得季节比率S——S=各年同期的（S.I）的平均。4.调整季节比率，使季节比率的平均=1。否则，计算一个调整系数（=1/季节比率的平均数），各期的季节比率乘以该调整系数，即得调整后的季节比率。趋势_循环剔除法假定：Y=T.S.C.I计算长期趋势值TC常用移动平均值作为TC（平均项数N=季节变动的周期长度，所以平均值中不含S、I，只含TC）从原数列中剔除趋势-循环值，得季节变动和不规则变动相对数——Y/T=S.I消除不规则变动I，得季节比率S——S=各年同期的（S.I）的平均。调整季节比率，使季节比率的平均=1

(续前例：趋势剔除法计算表)先计算四项移动平均值，再求得下表的趋势剔除值（单位：%）年份销售额的趋势剔除值一季度二季度三季度四季度全年合计123456—90.9187.4287.6391.0784.94—118.51122.85122.26122.42125.65106.12108.71111.27108.70110.29—83.5982.5778.97