2021-2022年高中数学第三章直线与方程2.3直线的一般式方程1作业含解析新人教版必修220220226175

PAGEPAGE5直线的一般式方程一、选择题1．直线x－y＋3＝0的倾斜角是()A．30° B．45°C．60° D．90[答案]B[解析]由x－y＋3＝0，得y＝x＋3.其斜率为1，倾斜角为45°.2．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是()A．eq\f(3,4)，－eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)，－2 D．eq\f(4,3)，－2[答案]D[解析]将3x－2y－4＝0化成截距式为eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是eq\f(4,3)，－2.3．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3[答案]C[解析]若m＝－1，则l1的斜率不存在，l2的斜率为eq\f(1,3)，此时l1与l2不平行；若m≠－1，则l1的斜率为k1＝－eq\f(2,m＋1)，l2的斜率为k2＝－eq\f(m,3).因为l1∥l2，所以k1＝k2，即－eq\f(2,m＋1)＝－eq\f(m,3)，解得m＝2或－3.经检验均符合题意．4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为()A．1 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D．－2[答案]D[解析]由题意，得(－eq\f(a,2))×(－1)＝－1，a＝－2.5．(2013·广东改编)直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为eq\r(2)，则直线l的方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq\r(2)＝0[答案]A[分析]所求直线l与直线y＝x＋1垂直，可以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，根据l在y轴上截距为eq\r(2)，确定直线截距式方程，再化为直线方程的一般式．也可以设与y＝x＋1垂直的直线系方程进行求解．[解析]方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为eq\r(2)，所以所求直线l的方程为y＝－x＋eq\r(2)，即x＋y－eq\r(2)＝0.方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为eq\r(2)，所以－c＝eq\r(2)，即c＝－eq\r(2)，所以直线l的方程为x＋y－eq\r(2)＝0.6．直线l1ax－y＋b＝0，l2bx＋y－a＝0(ab≠0)的图形只可能是下图中的()[答案]B[解析]l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A选项中，由l1的图形知a>0，b<0，判知l2的图形不符合．在B选项中，由l1的图形知a>0，b<0，判知l2的图形符合，在C选项中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D选项中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D．所以应选B．二、填空题7．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为___________________；截距式方程为___________________；斜截式方程为___________________；一般式方程为___________________.[答案]y＋4＝eq\r(3)(x－0)eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)x－y－4＝08．(2015·湖南改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为_________.[答案]4[分析]利用直线一般式方程判断直线平行的方法求参数，注意讨论系数．[解析]当a＝0时，l2：x＝0，显然与l1不平行．当a≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×－a－－2×2＝0,－2×－a－－1×－a≠0))，解得a＝4.三、解答题9．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．[解析]解法1：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，则l在x轴、y轴上的截距分别为－eq\f(m,3)，eq\f(m,4).由－eq\f(m,3)＋eq\f(m,4)＝1知，m＝－12.∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0.解法2：设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－\f(b,a)＝\f(3,4).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－3)).∴直线l的方程为：eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1.即3x－4y－12＝0.10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2(1)l在x轴上的截距为－3；(2)斜率为1.[解析](1)令y＝0，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3②))由①得m≠3且m≠－1；由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－eq\f(5,3).综上所述，m＝－eq\f(5,3)(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0③,\f(－m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1④))，由③得m≠－1且m≠eq\f(1,2)，解④得m＝－1或eq\f(4,3)，∴m＝eq\f(4,3).能力提升一、选择题1．直线的斜率为－eq\f(4,3)，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能为()A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．3x－4y＋7＝0 D．4x＋3y－24＝0[答案]B[解析]由k＝－eq\f(4,3)否定A、C,4x＋3y－24＝0过第一象限，否定D，故选B．2．如果AC>0且BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B[解析]将Ax＋By＋C＝0化成斜截式，得y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B).因为AC>0且BC>0，所以AB＞0，－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)<0，所以直线不通过第二象限．3．若原点在直线l上的射影是点(－2,1)，则直线l的方程是()A．x＋2y＝0 B．x＋2y－4＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋3＝0[答案]C4．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是()A．m＝1 B．m＝±1C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n≠－1)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n≠－1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n≠1))[答案]D[解析]根据两直线平行可得eq\f(m,1)＝eq\f(1,m)，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1.二、填空题5．若直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则实数[答案]－6[解析]把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a6．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直且都过点A(1，m)，则a＝_________，b＝_________，m＝_________.[答案]10－12－2三、解答题7．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的值范围．[解析](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，所以2－a＝0，所以a＝2，方程为3x＋y＝0；当直线不过原点时，a≠2，由eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，得a＝0，方程为x＋y＋2＝0，故所求的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当－(a＋1)≥0