第06讲 分式方程及其应用（2考点+8题型）2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第二章方程（组）与不等式（组）第06讲分式方程及其应用（3~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一解分式方程考点二分式方程的应用04题型精研·考向洞悉命题点一解分式方程►题型01判断分式方程►题型02分式方程的解法命题点二分式方程的解►题型01根据分式方程解的情况求值►题型02分式方程无解问题命题点三分式方程的应用►题型01列分数方程►题型02行程问题►题型03工程问题►题型04经济问题05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测解分式方程能解可化为一元一次方程的分式方程10年9考中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．分式方程的应用能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性10年连续考查考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6.分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：命题点一解分式方程►题型01判断分式方程1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；B．不是方程，故选项不符合题意；C．是分式方程，故选项符合题意；D．是一元一次方程，故选项符合题意．故选：C．2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．故选：B．【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．3．（2023·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（

）A． B． C．，且 D．，且【答案】D【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．【详解】解：去分母，得，解得，∵方程的解是负数，∴，且，∴，且．故选：D．【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．4．（2024全国）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；B、是一元一次方程，故不符合题意；C、是分式方程，故符合题意；D、是二元一次方程，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．►题型02分式方程的解法5．（2024·广东广州·模拟预测）解方程：【答案】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可．【详解】解：，，，，，．经检验，是原分式方程的解，∴原分式方程的解为．6．（2024·广东广州·中考真题）解方程：．【答案】【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，解得：，经检验，是原方程的解，该分式方程的解为．7．（2023·广东江门·一模）解分式方程：．【答案】.【分析】先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验．【详解】解：∴，解得：，经检验，是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．8．（2022·广东揭阳·模拟预测）（1）++=1；（2）．【答案】（1）x=1；（2），【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解；（2）先去分母再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x-2），得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2），解得x=1或2．经检验，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解，所以原方程的解为：x=1．（2）去分母得，，移项得，，∴（3x-2）[4（3x-2）+3]=0，∴3x-2=0，4（3x-2）+3=0，解得，，．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解题的关键．命题点二分式方程的解►题型01根据分式方程解的情况求值9．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可．【详解】解：是分式方程的解，，解得：，故选：C．10．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案．【详解】解：去分母得：，解得：，关于的方程的解是负数，，且，解得：且，故选：B．11．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（

）A．7 B．－14 C．28 D．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．【详解】解：解不等式，解得x≤7，∴不等式组整理的，由解集为x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，解得：y＝，由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，∵x为正数，∴，解得．∵，∴，即．∴m的取值范围是且．故选：D．►题型02分式方程无解问题13．（2023·黑龙江牡丹江·二模）若分式方程无解，则a的值为（

）A．1 B． C．2或1 D．2或【答案】C【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0．【详解】解：去分母得：，整理得：，由题意，分以下两种情况：（1）当，即时，整式方程无解，分式方程无解；（2）当时，，当时，分母为0，分式方程无解，即，解得，综上，a的值为1或2．故选：C．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确分两种情况讨论是解题关键．14．（2021·广东广州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（

）A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解【答案】C【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．【详解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程，，∴方程无实数根，∴方程无解，故整式方程不正确，分式方程无解，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．15．（2020·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（

）A．1 B．3 C．1或 D．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解的意义，计算即可求出m的值.【详解】解：去分母得：，整理得，，当时，即时，方程无解，当时，，即x=3时，方程无解，此时，解得，所以，或，故选：C.【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，理解分式方程无解的意义，是解题的关键．16．（2020·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（）A．7 B．3 C．1 D．－3【答案】A【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】方程两边都乘（x-），得7+3（x-1）=m∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，7+3（1-1）=m．解得m=7．故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．命题点三分式方程的应用►题型01列分数方程17．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设原计划每天整改千米，得到实际施工时每天整改千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则，故选：B．18．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，列分式方程．【详解】解：设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，由题意得，．故选：B．19．（2024·广东江门·模拟预测）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了列分式方程，先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得．【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，则可列方程为，故选：A．20．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．【详解】解：设现在平均每天生产A产品x万件，则原来可生产万件．由题意得：，故选：B．►题型02行程问题21．（24-25九年级·重庆）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地.(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从地到达地后，小明跑步继续前进到地整个过程不休息，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个过程中，小明共消耗卡路里热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)小明跑步速度是，小红跑步速度是(2)小明从地到地锻炼共用分钟【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用；（1）设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，利用时间路程速度，结合小明比小红早分钟到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入中，即可求出小明跑步的速度；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗卡路里的热量”，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，答：小明跑步速度是，小红跑步速度是；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，根据题意得：，整理得：，解得：不符合题意，舍去，．答：小明从地到地锻炼共用分钟．22．（24-25九年级·重庆）在周末自驾游中，李明和张华相约从A城前往B城进行户外探险.已知A、B两城相距120公里，两人均匀速行驶，李明与张华的速度之比为．(1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明驾驶的速度为每小时多少公里；(2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度为每小时多少公里．【答案】(1)每小时90公里(2)每小时60公里【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（1）设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度为每小时公里，根据路程＝速度时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里，根据时间＝路程＋速度结合张华比李明多用1小时，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得，设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度每小时公里，依题意得：解得：，则．答：李明驾驶的速度为每小时90公里；（2）解：设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里，则由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，答：李明驾驶的速度为每小时60公里．►题型03工程问题23．（24-25九年级上·山东威海·期中）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天．(1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？(2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？【答案】(1)甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天(2)甲队至少做了5天【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．（1）设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再验算即可；（2）设甲队做了天，则乙队做了天，根据题意可列出关于m的不等式，解之即可．【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天，根据题意得：解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，此时，答：甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天；（2）解：设甲队做了天，则乙队做了天，根据题意得：解得：，答：甲队至少做了5天．24．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工．(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？(2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？【答案】(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天(2)改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，根据“甲、乙的工作量之和为”列方程求解（2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺文化袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺文化袋数量之比为、两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天”列方程求解．【详解】（1）解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则．解得∶．答∶该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天．（2）解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋．甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成(个)由题意得∶，解得∶，经检验∶是原分式方程的解，且符合题意．甲车间每天生产(个)．答∶改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋．►题型04经济问题25．（24-25九年级重庆）每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务．(1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？(2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？【答案】(1)甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件(2)更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．（1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可；（2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可．【详解】（1）解：设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，依题意，得：，解得：．答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件．（2）解：设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，依题意，得：，解得：．经检验，是原方程的解．答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件．26．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．(1)A系列产品和B系列产品的售价各是多少？(2)为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？【答案】(1)A系列单价为100元，B系列单价为150元；(2)80元【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意得，解方程即可．（2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）设A系列单价为x元，B系列单价为元，根据题意，得，解方程，得，经检验，是原方程的根，此时元，答：A系列单价为100元，B系列单价为150元；（2）设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据题意，得，整理得，解得，∵尽可能让顾客得到实惠，∴定价为80元．答：B系列产品的实际售价应定为80元．基础巩固一、单选题1．（2024·广东广州·二模）方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，转化为整式方程，再求解，检验即可．【详解】解：，去括号得，解得：，经检验：是原方程的根，故选：A．2．（2023·海南海口·模拟预测）若代数式和的值互为相反数，则x等于（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了相反数，分式方程的求解，根据相反数定义列式，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可．【详解】解：代数式和的值互为相反数，，去分母得：，去括号得：，合并同类项得：，解得：，经检验是方程的解，故选：B．3．（2024·广东深圳·模拟预测）深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路，路线一：走深南大道经宝安大道，全程是千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是千米，平均速度是路线一的倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用分钟，设走路线一到达宝安机场需要分钟，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式方程的应用，设走路线一到达宝安机场需要分钟，根据题意，列出分式方程即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设走路线一到达宝安机场需要分钟，由题意可得，故选：．4．（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（

）A．速度比原计划增加，结果提前到达 B．速度比原计划增加，结果晚到达C．速度比原计划减少，结果提前到达 D．速度比原计划减少，结果晚到达【答案】A【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度，∴表示的是在原计划的速度上提高，∴表示实际的速度，∴A符合题意，故选：．5．（2023·海南海口·一模）若代数式和的值相等，则x等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据题意列分式方程并求解．【详解】解：由题意得：，解得：，经检验，是方程的解；故选：C．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是根据题意列分式方程，解分式方程并检验．6．（2024·广东汕头·一模）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，依次列方程即可．【详解】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，即故选：C．二、填空题7．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则．【答案】4【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．【详解】由题可得：，去分母得，，解得，，检验：当时，，∴是所列方程的根，故答案为：4．8．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的方程无解，则a的值为．【答案】1或【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到，分和两种情况，分别进行求解即可．【详解】解：去分母得：，整理得：，当时，方程无解，故；当时，时，分式方程无解，则，∴关于x的方程无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．9．（2024·广东广州·二模）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为：．【答案】【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个列出方程即可，由解题的关键读懂题意列出分式方程．【详解】解：设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，由题意得：，故答案为：．三、解答题10．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：燃油车油箱容积：40升油价：7.5元/升续航里程：m千米每千米行驶费用：元纯电动汽车电池容量：80千瓦时电价：0.55元/千瓦时续航里程：m千米每千米行驶费用：________元(1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用；②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）【答案】(1)（或）；(2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低．【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用；（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答．本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；故答案为：（或）．（2）解：①，解得，经检验，是原分式方程的解，∴（元），（元），答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；②购买燃油车的年费：（元）购买纯电动汽车的年费：（元）∵∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．11．（2024·广东·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．(1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？(2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？【答案】(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．(2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用．（1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可．（2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论．【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据题意有：，解得：经检验，是分式方程的解，∴，∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意有：，解得：，∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．能力提升一、单选题1．（2023·广东云浮·二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（）A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天【答案】B【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙组单独完成此顶工程需要x天，根据题意列出方程求解即可，注意进行检验．【详解】解：设乙组单独完成此顶工程需要x天，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．故选：B．2．（2023·广东广州·模拟预测）把分式方程化为整式方程正确的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】方程两边都乘，即可求解．【详解】解：原方程可变形为：，方程两边都乘得：，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，正确的去分母是解题的关键．3．（2022·广东广州·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得：，当时，，故选：C．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．4．（2023·广东广州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天．已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天，根据“用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天”【详解】解：设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天，根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二、填空题5．（2024·广东广州·二模）清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，首先根据A型客车每辆坐x人，得每辆B型客车每辆坐人，根据根据等量关系列出方程即可．【详解】解：A型客车每辆坐x人，∵B型客车比每辆A型客车多坐15人∴B型客车每辆坐人∴根据题意的：，故答案为．6．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为．【答案】【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．【详解】解：，，，∵关于的分式方程有增根，∴，∴，故答案为：．7．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是．【答案】/【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】解：∵，∴，即，去分母得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解是，故答案为：【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．8．（2023·广东东莞·模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为．【答案】【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，八年级人均收获农产品为，七年级人均收获农产品为，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，则有．故答案为：．【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．三、解答题9．（2024·广东中山·三模）据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长．为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元【答案】弧形椅的单价为元，条形椅的单价为元【分析】此题主要考查了分式方程的应用．设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据“用6000元购买弧形椅的数量比用3600元购买条形椅的数量多6张”列分式方程解答即可．【详解】解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元．10．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时(2)的值为【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（千米小时）．答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；（2）根据题意得：，即，解得：，（不符合题意，舍去）．答：的值为．11．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．(1)求排球、足球的单价各为多少？(2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元；(2)张老师带的钱不够，最少还差元．【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解；（）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答；本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，依题意得，，解得（不符合题意，舍去），，经检验，是原方程的解，且符合题意