平面向量与三角形的四心问题-高三理科数学复习讲义与跟踪训练含解析

平向与角的心题I题源探·黄金母题是

精解【试题来源2018南阳中高三学第次考

【母题评析本主考向的）2B.【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为

是

重心，

几运及用本等求值考考的析题决题的力属难．【思路方法利基不式最值，定正理和握一正二，相”内：正是首要断数否正二定，次看或是为值（定最，定最；相是最一要证号否成（要意点一相时参否定域，是次所以，或

时号否时立，所以，简得，得题目所给图像可知．由基本不等得，即．且仅当，时，等号成立，故最小值为．

II．场精彩真题回放【例高浙江向满的最小值是_，大值是．【答案】，

a1,2,

则aa

【命题意图本主考．题能好考考分问解问的力基计能等【考试方向这试在查型【解析】解法一：设向量a,b的夹角为，由余弦定理有：

上通以择或空的式254cos

，

出，度等22

5

，则：

【难点中心】本通过,b

的角结合模公式，解4cos

，令

a5

y则216cos据此可得：2016，maxa的最小值是，最大值是．

，

，利三角界性出大最值解法二：如图所示，+b和a是,为边的平行四边形的两条对角线，则ab

10

，A是

为圆心的单位圆上的一动点，构造个全等的平行四边形

AOBD

，平行四边形

ECOA

．所以+．易知当A，B，C点共线时，

最小，此时ABAC

；当AOBC时AB

最大，此时ABACAB5．a

D

ab

A

-b

EB

III理论础·解原理三角形的心，指的是三角形的心、重心、内心、外心．（1三角形的垂心是指三条高线的交点．垂心常用字母来示．

SS（2三角形的垂心是指三条中线的交点．重心常用字母G来示．重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍．（3三角形的内心是指三条内角平分线的交点．内心常用字母I来表示．内心到三边的距离相等．（4三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来示．外心到三角形三个顶点的距离相等．公式1：图在

中，点

为角形内任意一点，则

PC

(其A

)（）BDC证明：设

APBD,DC

，则OP

OAODOC,OD1

，

OB(1))(1)

．令

1,1)(1)(1)

，代入上式，取O为，得1)进而可证明：

SPBC,,，记SSSaPACcABCABC

．代入公式（）得：公式：

SPASPCabc

（下面用公式三角形的四心统一公式进行推导：⑴当点为心

时，

S:Sab

1Rsin2sin2B:R22sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

为三角形外接圆半径）代入（）式得：sin2sin2BOBsin20

；⑵当点为心

I

时，

S::Sabc

11ar::a:bcsin:sinB:22

（其中

r

为三角形内切圆

2AB2AB半径入）式得：sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

为三角形外接圆半径）代入（）式得：sinAIAsinBIB0bIBcIC

；⑶当点为心

时，

S:a

，代入（2式得：

GC

．⑷当点P为心

H

时，如图，

SCEBHaSAEBHtan

tantan，同理tanAtanCStanB

，S:Stan:B:tanabc

，代入（2式得：

tanC

．IV题型攻略·度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等；若作为压轴题，则难大．【技能方法】三角形“四心”的向量表示①在

中，若

OA

或OA

，则点

是

的外心；②在中若GC，点G是ABC的重心；③在

中，若OPAB

12

BC,

0,

，则直线AP

过

的重心；④在中若

，则点H是ABC的心⑤在ABC中，若OPOA

ABAC

(

，则直线AP通的心．【易错指导】很多同学不知道三角形中重心，外心，内心，外心的定义及性质，比如三角形重心将中线分为比一两段，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，内心到三边的距离相等；由这几个向量式不知道如何简，特别是得到PB)V．一反三触类旁通考三形心向量

，由此想到垂心．【例018内蒙古呼和浩特市高三11月质量普查知AC

是平面上不共线的三点是ABC的心，

OAOBOC2OAOBOC2动点

满足

1

，则

一定为

的（）A重心

BAB

边中线的三等分点（非重心）．AB边中线的中点

D．

边的中点【答案】B【例2】已知点是()

的重心，内角

所对的边长分别为，且，则A

B

．

D．【答案】A【解析】∵点O是的重心∴，∵=，∴可设，，

c=x（x＞0，b=x，c=

（x＞0cosC===，∴

，同理可得：

，，选：．【名师点睛】设为

所在平面上一点，角

所对边长分别为，（1为（2为

的外心的重心

．．（3为

的垂心

．（4为

的内心

．【例广桂林市贺州市三上学期期末联考知

G

点为

的重心设

ABC

的内角,BC

的

对边为ab

且满足向量BGCG，

C则实数）A2B3．【答案】D

2D3

AD

CD

AC

1922

BC

，

2

2

a

2

,

由atan

bC

，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得2

2

a

2a212

，故选D．【跟踪练习】2018四宜宾高三上半期考】已知中AC4,AB2

，若G为重心，则AG

=A

8

B．

6

．4

D．【答案】C【解析】

AG

1BC133故选．【名师点睛】本题考查平面向量基本定理的应用以及数量积的应用．平面向量数量积的类型及法(1)求平面向量数量积有三种方法一是夹角公式＝θ；是标公式a·bxx＋yy；三是利用数量1212积的几何意义求复杂的平面向量数量积的运算时利平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．．已知G为ABC的心，且AGBG，212A1B．．D．34【答案】C

1tantanB

，则实数的为

AB2AB2

AsinBACsinC2AB21ABcosC2BCC22AB2

2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北分重点中学高考冲刺】已知是面上的一定点A、B、C是面上不共线的三点，若动点满

ABsinACsin

则点P的轨迹一定通ABC的（）A内心

B外心

C．心

D．心【答案】C【解析】在

ABC

中，由正弦定理得

sin

sin

，设

ABACC

边上的中点为D

，由已知可得

APADkkk

，故

点的轨迹在三角形的中线上，则P

点轨迹一定通过三角形的重心，故选C2018齐名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知G为的重心，点MN分在边AB上AG,

其中

xyAM

34

的面积之比为_．【答案】

209

．图所示，已知点

G是△ABC的心，过G作直线与、AC两分别交于

M、N两，且AMANyAC

，则

xyx

的值为．1【答案】3【解析】这题应该用到这个结论：是线AB外点，

OCnOB，C

三点共线的充要条件是m

题中就是设

AGmAM

m

于

是

的重心

AG

13

(AB)

，又

AG

，根据平面向量基本定理得

mx

11，即x，3m3n

，代入得

3

．．已知的心O，过任一直线分别交边ABAC于P,Q点，设AQnAC

，则4

的最小值是_______．【答案】

22AB22AB22AB22AB考三形心向量【例四川成都外国语学校高三月月考设P

是

Δ

所在平面内的一点，若ABCA2且BC．则点P是ΔABC的A外心

B内心

C．心

D．心【答案】A【解析】由

ABAB

，即

，所以

ABPB

，设为AB的点，则

ABPD

，故

；因为

ABBC

，所以

，所以

ABAP

，设BC的点为E同可知

BC

所P为AB与BC的直平分线的交点所以是

Δ

的外心选A【名师点睛】三角形四”的向量表示①在中若

或OAOB，点是的心；②在

中，若

GA

，则点

是

的重心；③在中若OAAB

,0,

，则直线AP过的心；④在ABC中，若HAHC，点是的心；⑤在

ABC

中，若OAABAC

(

，则直线AP

通过

ABC

的内心．【例河衡水中学高上学期九模】已O是面上一点，,BC

是平面上不共线的三点，动点满

ACAC足

OC，2ABcosBC

0,，则点P

的轨迹经过

的（）A外心

B内心

C．心

D．心【答案】A∵DPBC

ABcosBAC

coscoscosACcosC

BCBC

，∴⊥，∴点P在BC的直分线上，即P经ABC的外心，故选A．【例2018重一中高三下学期第一次月考】点

O

是锐角三角形

ABC

的外心，6,AC2

，则AO【答案】20【解析】如图所示，过点

O

分别作

OEAB

于E

于F

，则EF

分别是,

的中点，可得在Rt中OAE

AO

2AO

，所以

2

，同理可得

2

2

，所以

20

．

【名师点睛】本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将

ABC

放在它的外接圆O中，点分作OEAB，，到,

分别是,AC

的中点，利用数量积的运算，分别求得AO,AO

的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试题．【跟踪练习】江南昌一模】设O是ABC的心(角形外接圆的圆心)．若

AO

11AB+，∠的33数等于()A

B45

．60

D．【答案】C【名师点睛】这个题目考查了向量在三角形的四心中以及向量三角形法则，求模运算以及数量积的运用，属于中档题．对于向量的小题常用的方法有：数形结合法，建系方法，见模平方的意识，基底化的意识．浙省普通高等学校全国招生统一考试数模拟知O为角外心，AB，3若AO

，且xy．l，l，lOA12

，则（）A

l213

B

l321

C．

l32

D．

l23【答案】D

12121212∴

AO

，AO22

．∵AO，∴AO3cosBACAOACxcos②③∵xy

92

①∴由①②③得cos

3378

，根据余弦定理可得BC9

321

，∴

ACAB

．在中由大边对大角得：

BOCAOC

．∵

OAOBOC

，且余弦函数在0,

上为减函数，∴

OA

，∴

l23

，故选D．【名师点睛向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的关知识可以解决某些函数问题．(2)以向量为载体求相关变量的取范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．(3)向量的两个作用：①载体作用关键是利用向量的意义、作用脱向外”，转化为我们熟悉的数问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．．已知O锐角的外，

coscos，若ACsinC

则＝）A

B

35．3D．23

【答案】A新乌鲁木齐地区高三第一次诊断测试ABC中，CACB，O是的外心，若COxCA10【答案】9

，则

．【解析因为COyCB

所COxCACA

，COxCA

，即

11CAxCACAyCBCACB因4y2

，解得x

5410639

．四川省双流中学高三月月考知

为

的外心外接圆半径为1

60，的最大值为__________．2【答案】3【解析】以O为原点建立平面直角坐标系，如图，∵

．

22222AB22222AB13设1,0,(,2

），

则BC

13,y2

,

∵BO，{

1

，解得

{

xy

1232∵B在上，代入

1

，即

，12，得或（舍去）故最大值为，填．4333考

三形心向【例2018西省运城市康杰中学期中考试已O是面上的一定点AB是平面上不共线的三个点，动点满OA

ABAC

0,，则动点P的迹一定通过

ABC

的（）A重心

B垂心

C．心

D．心【答案】D【名师点睛】平面向量的线性运技巧：将向量转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线、平行四边形等质，把未知向量用已知向量表示出来求解．【例四德阳高三二诊ABC中

所的边分是a且aB5sinC

，

OB1221144OB12211441C

，若

为

ABC

的内心，则

ABO

的面积为．【答案】

【名师点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式，包括伦公式及有关内切圆的面积公式．首先根据

C，4sin5sinC，到5sinC

，利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式，化简这个式子可求得cosC的．利用海伦公式可求得面积．【跟踪练习】2017年月浙江省重点中学期末热身联考】已知三角形ABC，，BC，，为角形

的内心，记

I1

，

IOB•2

，

I3

，则（）A

II31

B

II1

3

C．

III3

2

D．

II2【答案】A【解析】∵三角形ABC，AB2，BC，AC，O为角形ABC的心∴

OAOC∴3OAABOAAC，OAOB，

4AC9即ABAC39OCCB，即

OC

ACBCACAC3999∴IOA

20242162ABACABABAB8181

2323420243IOBABACACABACAB8181818147216220216020IOCACABAB999981818181根据余弦定理可得：

BAC

BA

2

2BC216∴

ABAC

112∴

I

16112713044311135160201110，I，I818128181812162818123∴

III31【名师点睛面量的综合题与角度与长度结合在一起考查解时运用向量的运算量的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积决其他数学问题是今后考试命题的趋势；点

是平面

ABC

上任意一点，点

是

ABC

内心的充要条件是：bO

．2017山西太原高三二模】已知点

是

ABC

的内心，

，

，则

BOC

面积的最大值为_______【答案】

312【名师点睛】内心性质

BOC1800

0A902

，本题关键要找到

与

BOC

的关系，再结合余弦定理，结合面积公式可求．考三形心向量

【例2018江南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学、十七中、桑海中月联考】

ABC

的外接圆的圆心为O，若

OAOBOC

，则H

是

ABC

的（）A外心

B内心

C．心

D．心【答案】D【名师点睛】解答本题的关键是如何借助三角形的外接圆的圆心这一有效信息，然后再运用向的数量积公式进行合理地变形最逐一验证获

H

，

，

由此可推断

是三角形的垂心，从而使得问题简捷、巧妙获解．【例10广东东莞市高一下学期期末教学质量检查】已知在中，是垂心，点P满：3OP

1OAOB，ABP的积与的积之比是（）2A

23B．．D342【答案】A【解析】如图，设AB的中点为M，设

11OAON，则N是的中点，点与M22

重合，故由3OP

1OAOB2

可得

OP

，即

OCOM

，也即

PM

，由向量的共线定理可得,P,M共且

MP

23

MC

所结合图形可得ABP

的面积与

的面积之比是

2222222223

，应选答案A．【跟踪练习】．已知O为ΔABC所平面内一点，满足BCOCAB

，则是Δ的（）A外心

B内心

C．心

D．心【答案】C云省名校月考（一

，

，则下列结论错误的是（）A若是的重心，则C．PABC的心，则

B若P是ABC的心，则D若P是的心，则

24【答案】B【解析】如图，设AD，线AP与线交D点，因为

，所以

D

r

r

r

r

，即

，过D

作DE

分别平行于,，则

AE

，而

，

AC

，由平行线分线段成比例得

CDFD

，同