2021-2022学年湖南省长沙市跳马中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市跳马中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点、、、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，，则点与中心的距离为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】点线面的位置关系因为设中心为D,计算可得，

设S在平面射影为H,则可得,可求得为所求。

所以，

故答案为：B2.的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量在方向上的投影为

A.

B.

C.

D.参考答案：C3.在等差数列的值等于

A．—2011

B．—2012

C．—2010

D．—2013参考答案：B略4.已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{0} D．{﹣1，0}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B5.（5分）（2015?枣庄校级模拟）已知，则tanα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：计算题．【分析】：由两角和的正切公式可得=3，解方程求得tanα的值．解：∵已知，由两角和的正切公式可得=3，解得tanα=，故选A．【点评】：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．6.已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出．【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n．令an=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|an|=﹣an．n≥4时，|an|=an．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．7.已知焦点在轴上的双曲线的中心是原点，离心率等于，以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（

）A．

B．C．

D．参考答案：C考点：双曲线的几何性质及运用.【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件运用点到直线的距离公式先求出.再借助题设中的离心率求出的值.求解时巧妙地运用设,然后运用求出.8.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.参考答案：D9.定义域为的函数的图象的两个端点为A,B,M图象上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”.若函数上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A.

B.

C.

D.参考答案：10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为（

）.A. B. C. D.参考答案：C【分析】将已知条件中的转化为，然后然后化简得，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值.【详解】如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.【点睛】本小题考查平面向量的线性运算，考查三角形面积的比值的求法，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的奇函数满足，且，则_____▲____．参考答案：12.设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是

▲

．参考答案：13.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为

．参考答案：x﹣y﹣1=0考点：圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程．专题：直线与圆．分析：将两个方程相减，即可得到公共弦AB的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB的长．解答： 解：圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为：x2+y2﹣1﹣[（x﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x﹣y﹣1=0故答案为：x﹣y﹣1=0．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，其中将两个圆方程相减，直接得到公共弦AB的方程可以简化解题过程．14.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．参考答案：15.如图，点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形为菱形，则椭圆的离心率是

参考答案：略16.双曲线﹣=1的焦点坐标为，离心率为．参考答案：（﹣4，0），（4，0）,2.【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），217.若，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为．参考答案：等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，acos（π﹣A）+bsin（+B）=0，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面.如图所示，将A杆上所有碟片移到C杆上，B杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次，记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次.（Ⅰ）写出a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：解：（Ⅰ）.

………………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）推测数列的通项公式为

……5分下面用数学归纳法证明如下：①当n=1时，从A杆移到C杆上只有一种方法，即a1=1，这时成立；②假设当时，成立.则当n=k+1时，将A杆上的k+1个碟片看做由k个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将A杆上的k个碟片移到B杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到C杆上有1种移法，最后将B杆上的k个碟片移到C杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有种移动方法，故从A杆上的k+1个碟片移到C杆上共有种移动方法.所以当n=k+1时,成立.由①②可知数列{an}的通项公式是.…8分（也可由递推式构造等比数列求解）(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，，所以略19.2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；收集数据的方法；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；概率与统计．分析；（I）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；（III）利用直方图求出样本中车速在[90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率．解：（I）由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，该抽样方法是系统抽样；（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5?x≈2.9，∴数据的中位数为77.9；（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），∴估计该路段车辆超速的概率P==．【点评】本题考查了由样本估计总体的思想，考查了由频率分布直方图求数据特征数众数、中位数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的常见题型，解答要细心．20.（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，，点D是棱BC的中点。

（Ⅰ）求证：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求证：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值。参考答案：解：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形所以所以平面

……………1分因为平面，所以

………………2分又因为，为中点，所以

………3分因为,所以平面

………………4分（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为中位线所以

…………6分因为平面，平面

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因为侧面，均为正方形，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系设，则

………………9分设平面的法向量为，则有，，所以取，得

………………10分又因为平面所以平面的法向量为………11分

………12分所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值………………13分略21.(本题10分)已知,,，若，求实数的值.参考答案：解：，，由，，或，从而，或，故，或.又.考虑.当时，；当或时，