2021-2022学年江西省吉安市石山中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年江西省吉安市石山中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量满足，则的最大值为

(

)Ａ.Ｂ.

Ｃ.Ｄ.参考答案：B略2.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，，记函数，若函数恰有两个零点，则实数k的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（

）A.1．5尺 B.2．5尺 C.3．5尺 D.4．5尺参考答案：B【分析】由等差数列的性质可得，，可得，，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.下列命题中，假命题为（

）

A．存在四边相等的四边形不是正方形

B．为实数的充分必要条件是为共轭复数

C．若R，且则至少有一个大于1

D．命题：的否定是：。参考答案：B只要的虚部相反，则就为实数，比如，则有为实数，所以B错误，选B.5.设>0,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：C略6.函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．7.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中错误的是(

) A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若α∥γ，β∥γ，则α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β参考答案：D考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理对选项分别分析选择．解答： 解：对于A，若m⊥α，m⊥β，根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可以得到α∥β；故a正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理容易得到m∥n，故B正确；对于C，若α∥γ，β∥γ，根据面面平行的性质定理和判定定理容易得到α∥β；故D正确；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交；如墙角的三个面的关系；故D是错误的．故选D．点评：本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键．8.如图所示的程序框图中输出的结果为A．2

B．－2C．D．－参考答案：A9.将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D将函数的图像向左平移个单位，得故选D.10.下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：

．参考答案：12.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为________．参考答案：2略13.设P是内一定点(1,0)，过P作两条互相垂直的直线分别交圆O于A、B两点，则弦AB中点的轨迹方程是

.参考答案：14.设等差数列的前项和为，若，则公差为

．参考答案：315.某学校需要把6名同学安排到A，B，C三个兴趣小组学习，每个兴趣小组安排2名同学，已知甲不能安排到A组，乙和丙不能安排到同一小组，则安排方案的种数有

.参考答案：4816.在的二项展开式中，含项的系数为

。参考答案：略17.函数的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列为公差不为的等差数列，为前项和，和的等差中项为，且．令数列的前项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）因为为等差数列，设公差为，则由题意得

整理得所以……………3分由所以……………5分（Ⅱ）假设存在由（Ⅰ）知，，所以若成等比，则有………8分，。。。。。（1）因为，所以，……………10分因为，当时，带入（1）式，得；综上，当可以使成等比数列。……………12分

略19.（12分）已知函数f（x）=（m≠0）是定义在R上的奇函数，（1）若m＞0，求f（x）在（﹣m，m）上递增的充要条件；（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos2x+﹣对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．分析： （1）运用奇偶性求出m的值，再运用导数判断，（2）构造函数g（x）=sinθcosθ+cos2x+﹣=sin2θ，利用任意的实数θ和正实数x，得g（x）∈[，]，即f（x），求解f（x）最大值即可．解答： 解：（1）∵函数f（x）=（m≠0）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即n=0，f（x）=，f′（x）=≥0，m＞0即2﹣x2≥0，[﹣，]∵f（x）在（﹣m，m）上递增，∴（﹣m，m）?[﹣，]f（x）在（﹣m，m）上递增的充要条件是m=（2）令g（x）=sinθcosθ+cos2x+﹣=sin2θ，∵任意的实数θ和正实数x，∴g（x）∈[，]，∵若f（x）≤sinθcosθ+cos2x+﹣对任意的实数θ和正实数x恒成立，∴f（x），∵f（x）=，根据均值不等式可得；≤f（x）≤，所以只需≤，m≤2实数m的取值范围：m点评： 本题考查了函数的性质，不等式在求解值域中的应用，运用恒成立问题和最值的关系求解，难度较大．20.设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值参考答案：解：（1）∵∴，

（1分）令，解得

（2分）当x变化时，，的变化情况如下表：0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当，

（5分）解得，所以a的取值范围是（0，）.

（6分）（2）当a=1时，.由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；.

（7分）①当t+3<-1，即t<-4时，因为在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为；

（9分）②当，即时，因为在区间上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且，所以在区间上的最大值为.

（10分）由，即时，有[t，t+3]ì，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值为；

（11分）③当t+3>2，即t>-1时，由②得在区间上的最大值为.因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，故在上的最大值为.

（13分）综上所述，当a=1时，在[t，t+3]上的最大值.（14分）

21.（本题满分13分）已知｛an｝是正数组成的数列，，且点（）（nN*）在函数的图象上,成等差数列，且

(Ⅰ)求数列｛an｝及｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和参考答案：∴

解得q=2………………5分．=8

∴………………6分．（Ⅱ）

由已知

………………7分．

------------①……8分．------------②……9分．①－②得

……13分

22.（12分）（2014春?南昌期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2，（1）当A=30°时，求a的值；

（2）当△ABC的面积为3时，求a，c的值．参考答案：考点： 正弦定理．专题： 解三角形．分析： （1