高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 第一章章末复习

章末复习1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比eq\f(Δy,Δx)的极限，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1(2023·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x＞0)，∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x＞0.①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．跟踪演练1已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.(1)求曲线在x＝1处的切线方程；(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．解(1)∵y′＝3x2－6x＋2，∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1.∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)．∴直线l1的方程为y＝－(x－1)，即l1的方程为x＋y－1＝0.(2)直线l2过原点，则k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.又k＝eq\f(y0,x0)，∴3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，整理得2xeq\o\al(2,0)－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝eq\f(3,2)，此时y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4)，因此直线l2的方程为y＝－eq\f(1,4)x，切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,8))).题型二利用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．例2已知函数f(x)＝x－eq\f(2,x)＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性．解由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq\f(2,x2)－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－ax＋2,x2).设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜2eq\r(2)时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a＝2eq\r(2)时，仅对x＝eq\r(2)，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a＞2eq\r(2)时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝eq\f(a－\r(a2－8),2)，x2＝eq\f(a＋\r(a2－8),2)，0＜x1＜x2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－8),2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－8),2)，\f(a＋\r(a2－8),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－8),2)，＋∞))上单调递增．跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝eq\f(a,3)，x2＝a.①当a>0时，x1<x2.∴函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(a，＋∞)，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，a)).②当a<0时，x1>x2，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,3))).③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的．综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(a，＋∞)，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，a)).a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,3))).a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．题型三利用导数求函数的极值和最值1．利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R),(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x＞1时，eq\f(1,2)x2＋lnx＜eq\f(2,3)x3.(1)解f′(x)＝x－eq\f(a,x)，因为x＝2是一个极值点，所以2－eq\f(a,2)＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－eq\f(4,x)＝eq\f(x＋2x－2,x)，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.(2)解因为f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)＝eq\f(x＋\r(a)x－\r(a),x)，所以函数f(x)的单调递增区间(eq\r(a)，＋∞)；递减区间为(0，eq\r(a))．(3)证明设g(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\f(1,2)x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－eq\f(1,x)，因为当x＞1时，g′(x)＝eq\f(x－12x2＋x＋1,x)＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝eq\f(1,6)＞0，所以当x＞1时，eq\f(1,2)x2＋lnx＜eq\f(2,3)x3.跟踪演练3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋f(x)2↘－2↗t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0，,g2<0，,g3≥0，))解得－2<c≤0.题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4设函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；(3)当a＝eq\f(2,3)时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．解(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a,3a3(3a，＋∞f′(x)－0＋0－f(x)极小极大∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(a)＝b－eq\f(4,3)a3；当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2因为0<a<1，所以2a<a＋所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤a，,4a－4≥－a，))即eq\f(4,5)≤a≤1.又因为0<a<1，所以eq\f(4,5)≤a<1.(3)当a＝eq\f(2,3)时，f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)x2－eq\f(4,3)x＋b.f′(x)＝－x2＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)，由f′(x)＝0，即－x2＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)＝0，解得x1＝eq\f(2,3)，x2＝2，即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))上是减函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2>0，,f3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋b≤0，,b>0，,－1＋b≤0，))解得0<b≤eq\f(1,3).跟踪演练4证明：当x∈[－2,1]时，－eq\f(11,3)≤eq\f(1,3)x3－4x≤eq\f(16,3).证明令f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x，x∈[－2,1]，则f′(x)＝x2－4.因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减．故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝eq\f(16,3)，最小值为f(1)＝－eq\f(11,3).所以，当x∈[－2,1]时，－eq\f(11,3)≤f(x)≤eq\f(16,3)，即－eq\f(11,3)≤eq\f(1,3)x3－4x≤eq\f(16,3)成立．题型五定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示