全国III卷理数2016－2018分类汇编及2019年数学备考策略

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析PAGE9PAGE9全国Ⅲ卷理科数学2016-2018年高考分析及2019年高考预测2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全部使用全国卷．研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近3年全国高考理科数学Ⅲ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近3年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共22类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．一、集合与常用逻辑用语小题：1．集合小题：3年3考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；每年的送分题．年份题目答案2018年C2017年1．已知集合A{(x,y)x2y2B{(x,y)yx}，则AB中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．0B2016年（1）设集合Sx(x2)(x0,Tx|x0，则ST=(A)[2，3] (B)（-，2][3,+） (C)[3,+） (D)（0，2][3,+）D2．常用逻辑用语小题：3年0考．这个考点一般与其他考点交汇命题，不单独出题．二、复数小题：3年3考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．年份题目答案2018年D2017年2．设复数z满足i)z，则|zA．1 B． 2 C．2 D．22 2C2016年（2）若z=1+2i，则 zz1(B) i (D)-iC三、平面向量小题：3年31题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，一般不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较．但2017年也作为第12题考过。年份题目答案2018年122017年中，AB2P在以点C为圆心且与BD，则的最大值为A．3 B．22 C．5 D．2A2016年1 2 31（3）已知向量BA(, ),BC( ,),则ABC=2 2 2 2600 A四、线性规划小题：3年2考，全国3卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合.2018年没有考。年份题目答案2017年xy13．若x,y满足约束条件xy2则z3x4y的最小值为 ．y02016年xy10（13）若x，y满足约束条件 x2y0 ，则z=x+y的最大值为 .x2y2032五、三角函数小题：3年7考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角象与性质、三角恒等变换、解三角形各考一个．三角考大题时，一般考一个小题，年份题目答案2018年B2018年C2018年32017年6．设函数f(x)cos(x )，则下列结论错误的是（）3A．f(x)的一个周期为B．yf(x)的图像关于直线x对称3C．f(x)的一个零点为x D．f(x)在(,)单调递减6 2D2016年（5）若tan3，则2sin464 48 16(A) 1 25 25 25A2016年（8）在△ABC中，Bπ，BC边上的高等于1BC,则A4 3（A）310（B）10（C）10（D）31010 10 C2016年（14）函数y=sinx−3cosx的图像可由函数y=sinx+3cosx的图像至少向右平移 个单位长度得到。3六、立体几何小题:3年6考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是课标全国卷的热点．年份题目答案2018年A2018年B2017年8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A． B．C． D．4 2 4B2017年16．a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与a成60角时，与b成30角；②当直线与a成60角时，与b成60角；③直线与a所成角的最小值为；④直线与a所成角的最大值为60．②③2016年(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81B2016年VAB则V的最大值是2 3B七、推理与证明小题：3年0考，但是2014年全国1卷、2016年和2017年全国2卷考了，但也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号．八、概率小题：3年1考,难度较小，全国卷概率小题一般考查古典概型和几何概型，但2018年全国3卷却是考的二项分布，这是一个信号。年份题目答案2018年B九、统计小题：3年2考．2018年没有考，2016年考了课本上没有的一种统计图，值得关注．年份题目答案2017年3城为解客的变规提旅服质集整了201月至016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A2016年（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最A点表示十月的平均最高气温约为点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个D十、数列小题：3年3考，数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，数列考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，一般就考两个小题，等差数列和等比数列考各一个。交错考法不一定分奇数年或偶数年．年份题目答案2017年9．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若,,成等比数列，则{an}前6项的和为A．-24 B．-3 C．3 D．8A2017年14．设等比数列{an}满足a23，则a4 ．-82016年01数列”{an}如下：{an}共有2mm项为项为k2m，,,中0的个数不少于1的个数.若01有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个C十一、框图小题：3年2考，2018年没有考！考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多．题目年份答案2017S正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．2D2016年（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=B高考数学全国卷备策请见《全国高考数考么：高考数学压轴全全析！十二、圆锥曲线小题：3年72-3侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一,一般一个容易的，一个较难的．年份题目答案2018年A2018年C2018年22017年x2 y2 55．已知双曲线C: b0)的一条渐近线方程为y x，且与椭圆a2 b2 2x2 y2 1有公共焦点．则C的方程为（）3x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． 1 B． 1 C． 1 D． 18 4 5 5 4 4 3B2017年x2 y210．已知椭圆C: 1（ab0）的左、右顶点分别为A,A，且以线段AA为a2 b2 1 2 12直径的圆与直线0相切，则C的离心率为（）A．6 B．3 C．2 D．13 3 ３ 3A2016年x2 y2O是椭圆C： b0)分别为Ca2 b2的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）1 （B）1 （C）2 （D）33 2 3 4A2016年（16）已知直线l:mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB=23，则CD= .4高考数学全国卷备策请见《全国高考数考么：高考数学压轴全全析！进淘宝、京东、当、马逊搜“全国高考学什么！十三、函数小题：3年72-3最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？年份题目答案2018年D2018年B2018年32017年11．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a（）1 1 1A． B． C． D．12 3 2C2017年xx115．设函数f(x) 则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是2x, x0 2 ．(1,)42016年4 3 1（6）已知a23，b44，c253，则（A）bac（B）abc（C）bca（D）cabA2016年（15）已知f(x)为偶函数，当x<0时，fx=ln−x+3x，则曲线y=f(x)，在点。y2x1十四、排列组合、二项式定理小题：3年2考，在全国各卷中二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.年份题目答案2018年C2017年4．(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为（）A．-80 B．-40 C．40 D．80C该书对近十年高考数学课标全国卷进行了深入分析：追根溯源，抽丝剥茧，揭秘命题规律；小题活做，大题精做，传授解题策略！十五、三角函数大题：数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理．年份题目及答案2017年17．（12分）的内角B,C的对边分别为a,b,c，已知A3Aa27,b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且，求△ABD的面积．解：（1）由已知可得A3，所以A3在中，由余弦定理得284c24c，即c203解得c6（舍，c4（2）由题设可得，所以2 61ABADsin故面积与面积的比值为2 611ACAD2又的面积为142sin23，所以的面积为32十六、数列大题：在全国卷中三角函数大题和数列大题每年只考一个类型，交错考法不一定分奇偶数年．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．年份题目及答案2018年2016年（7（小满分2已知数列an的前n项和Sn=1+a，Sn=1+an，其中≠0（I）证明an是等比数列，并求其通项公式（II）若S=31，求5 32解Ⅰ由意得aS1a，故1，a 1 ，a0.1 1 1 1 1 1由Sn1，Sn11an1得an1an1，即an1(.由0，0得a0，所以an1 .n a 1n因此{a}是首项为 1 ，公比为 的等比数列，于是a 1 ()n1．n 1 1 n 11（Ⅱ）由（Ⅰ）得S1()n，由S31得1()531，即()51，n 1 5 1 1 32解得1．1010十七、立体几何大题：3年3考，每年1题．第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较多.年份题目及答案2018年PAGE19PAGE192017年是正三角形， D是直角三角形．，．（1）证明：平面平面；AC的平面交于点E把四面 C E体分成体积相等的两部分．求二面角DC的余弦值．解： B（1）由题设可得，，从而又是直角三角形，所以A取AC的中点O，连结，则D又由于是正三角形，故所以为二面角DB的平面角 C E在中，AB2又，所以 OAB2， 故 BA所以平面平面O的方向为xOA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O，则3,由题设知，四面体的体积为四面体 z的体积的1E到平面的距离 D21为D到平面的距离的 E为的中 C E2点，得E(0, 3,1)，故 O2 2 B y31 A,)x2 2mC设n(x,y,z)是平面的法向量，则 同理可取m3)mE0nm 7则n,m |n||m| 7所以二面角DC的余弦值为 7。72016年（9（小满分2如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，为线段ADN为PC的中点.（I）证明MN∥平面（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解Ⅰ由知得M2D2取P的中点T，3连接,TN，由N为中点知TN，TN12.2又，故TN平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点E，连结，由得，从而，且 AB22 AB2()2 5.2以A为坐标原点，的方向为x空间直角坐标系A，由题意知，，M，C(5,2,0)，N(5，2(0,2,4)，(5，(5.2 2设n(,y,z)为平面N的法向量，则nM0，即nN02x4z0 |n| 855 ，可取n，于是|n, . xy2z0 |n| 2十八、概率统计大题：3年3考，每年1题．特点：实际生活背景在加强，阅读量大．统计各考点都有可能考．年份题目及答案2018年18.（12分）最高气温0最高气温055005500550天数216362574X200300500P0.20.40.42017年未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知PX200216，PX300360.4，PX5002574.因此X的分布列为：（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500当n时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间[20,25），则Y63004n12002n；若最高气温低于20，则Y64n因此2n0.42n)0.42n)0.2当n时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y64n因此2n(0.42n)0.21601.2n所以n时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。2016年（8（小满分2下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（）立y于t的方程系精到01预测26我生垃无害处量。解Ⅰ由线这和附中考据得7 7 t4，tit)8，(iy)5，2 2i1 i17 7 7it(iy) iiti7429，iiir .0.552因为y与t的关数为0.9说明y与t的线相当从可用性模型合y与t的关系.7 2 tit(iy) （Ⅱ）由y 1.331及（Ⅰ）得i1 0.103，7 7 28(tt)2i1iy1.3310.1034.所以，y关于t的回归方程为：.将2016年对应的t9代入回归方程得：9.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.十九、解析几何大题：3年31是对于全国3，近两年则以抛物线为载体。抛物线计算量相对较小，灵活性较强。年份题目及答案2018年2017年20．（12分）已知抛物线C:y22xl交C于A，BM是以线段（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，），求直线l与圆M的方程．解：（1）设B(x2,y2),l:x2xmy由 可得y240，则yyy22x 12y2 y2 (yy)2又x1,x2，故xx12 41 2 2 2 12 4y2 4因此OA的斜率与的斜率之积为 1，所以x2 4故坐标原点O在圆M上（2）由（1）可得yyxxyy)42m241 2 1 2 1 2故圆心M的坐标为(m2m)，圆M的半径r (m2+2)2m2由于圆M过点P(4,，因此0，故4)(x2(y20，即)y2y2y2)0由（1）可得y241所以2m2m10，解得m1或m2当ml的方程为xy10，圆心M的坐标为M的半径为10M的方程为(x(y1 9 1当m 时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为(,)，圆M的半径为2 4 285，圆M的方程为(x9)2(y1)2854 4 2 162016年（0（小满分2已知抛物线C：y22x的焦点为x轴的两条直线l,l分别交C于C的准线12于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解：由题设F(1,0).设l:ya,l:yb，则0，且2 1 2a2 b2 1 1 1ab,0),B( ,b),P( ,a),Q( ,b),R( , ).2 2 2 2 2 2记过B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)y0.（Ⅰ）由于F在线段上，故10.记的斜率为，的斜率为k2，则kabab1abk.1 1a2 a2ab a a 2所以∥.（Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S 1ba1bax1,S ab.2 2 1 2 21 1 ab由题可得 ba1 ，以10（舍，11.2 2 2设满足条件的的中点为E(x,y).2 y当与x轴不垂直时，由kABkDE可得 (x.ab x1ab而 y，所以y2x1(x.2当与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x1.二十、函数与导数大题：3年3考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导一般说来，主要考查不分参问题．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．年份题目及答案2018年20202017年21．（12分）已知函数f(x)x1ax．（1）若f(x)≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n， 1 1 1 ，求m的最小值．(1 )(1 )(1 )m2 22 2n解：（1）f(x)的定义域为①若a0，因为f(1)1a20，所以不满足题意；2 2②若a0，由f(x)1axa知，当x(0,a)时，f(x)0；当x(a,时，x xf(x)0f(x)在a)(a,xa是f(x)在的唯一最小值点。由于f0，所以当且仅当a1时，f(x)0故a1（2）由（1）知当x时，x1lnx01 1 1令x1 ，得) ，从而2n 2n 2n1)1)...1)11...11112 22 2n 2 22 2n 2n1 1 1故)e2 22 2n1 1 1而)2，2 22 23所以m的最小值为3PAGE26PAGE262016年1（小满分2设数f（）=+（1（1，中0记（𝑥的大为A.（Ⅰ求（x（Ⅱ）求A；解）f'(x)an2x(a)nx．（Ⅱ）当a1时，|f'(x)a2x(ax|a2(a2f(0)因此，A2．当0a1时，将f(x)变形为f(x)2ax(ax1．令g(t)2at2(a1，则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值，a，21a 1a (a1)2 a26a1t 时，g(t)取得极小值，极小值为g( ) 1 ．4a 4a 1a 1 1令1 1，得a （舍，a ．4a 3 510a 时，g(t)在内无极值点，|a，|2，||，5所以A2．1 1aa1时，由0，知g( )．5 4a1a a)(17a) 1a a26a1又|g( )||| 0，所以Ag( )| ．4a 4a 23a,0a1 5a26a11综上，A , a1． 5 3aa1（Ⅲ）由（Ⅰ）得|f'(x)2x(a1)sinx2a|a1|.1当0a 时，|f'(x)|1a24a2(22A.51 a 1 3当 a1时，A 1，所以|f'(x)1a2A.5 8 4当a1时，|f'(x)16a42A，所以|f'(x)2A.二十一、坐标系与参数方程大题：3年3考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小．年份题目及答案2018年高考数学全国卷备策请见《全国高考数考么：高考数学压轴全全析！2017年22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）x2t,在直角坐标系中，直线的参数方程为ykt （t为参数），直线l2的参数方程为x2m,ym （m为参数），设与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． k（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)20，M为l3与C的交点，求M的极径．1解（去数t得1的通方程1:yk(x)消参数mt得l2的通方程2:y (x)kyk(x2),设P(x,y)，由题设得 1 消去k得x2y2yy (x2. k所以C的普通方程为x2y2y（2）C的极坐标方程为2sin2)4(2,)2s2in2),联立 得sinsin)sin) 201 9 1故tan ，从而cos2 ,sin23 代入2sin2)4得25，所以交点M的极径为52016年23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x3s)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，以坐标原点为极点，以x轴的1 yin正半为轴，立标系曲线C的坐方为)22.2 4（I）写出的普通方程和C2的直角坐标方程；（II）设点P在上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.x2解Ⅰ）C的通程为 y21，C的直坐方为xy40.„5分1 3 2（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以||的最小值，即为P到C2的距离d)的最小值，d)|3cossin4| 2|)2|.当且仅当2k(kZ)时，d)取2 3 6得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(3,1).22二十二、不等式大题：3年3考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现．年份题目及答案2018年2017年已知函数f(x)x||x|．（1）求不等式f(x)的解集；（2）若不等式f(x)xxm的解集非空，求m的取值范围．解：x（1）f(x)2x1xx2当x1时，f(x)1无解；当x2时，由f(x)1得，2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1解得x2所以f(x)1的解集为{x|x（2）由f(x)x2xm得mx1||x2|x2x，而|x1||x2|x2xx||x|x2|x|(|x|3)2552 4 43 5且当x 时，|x1||x2|x2x2 4故m的取值范围为(,5]42016年24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)2xa|a（I）当a=2时，求不等式f(x)6的解集；（II）设函数g(x)2x1|,当xR时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.a2时，f(x)2x2|.解不等式|2x2|6，得x3