高中数学人教B版第二章数列（市一等奖）

第二章第4课时基础巩固一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为eq\x(导学号27542511)(A)12eq\f(1,2)1abcA．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意知a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(5,16)，c＝eq\f(3,16)，故a＋b＋c＝1.2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是eq\x(导学号27542512)(B)A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列[解析]Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)∴an＋1－an＝2(常数)∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝eq\x(导学号27542513)(C)A．81 B．72C．63 D．54[解析]∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴9,18，S9－27成等比数列，∴182＝9(S9－27)，∴S9＝63.故选C．4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝eq\x(导学号27542514)(A)A．1 B．9C．10 D．55[解析]∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.5．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额(不包括a元的投资)为eq\x(导学号27542515)(A)A．4a－1)元 B．a－1)C．0.24a(1＋6%)n－1元 D．4－1)[解析]设n年后他拥有的红利与利息之和为an元，则a1＝a·24%＝0.24aa2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24aa3＝a·24%＋a2·＝0.24a＋0.24a·＋0.24…an＝0.24a＋0.24a·＋0.24a·＋…＋＝0.24a(1＋＋＋…＋－1＝0.24a·eq\f(1－,1－＝4a6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5eq\x(导学号27542516)(B)A．成等差数列 B．成等比数列C．倒数成等差数列 D．不确定[解析]由题意，得2a2＝a1＋a3aeq\o\al(2,3)＝a2·a4，①eq\f(2,a4)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5).②∴a2＝eq\f(a1＋a3,2)，代入①得，a4＝eq\f(2a\o\al(2,3),a1＋a3)③③代入②得，eq\f(a1＋a3,a\o\al(2,3))＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)，∴eq\f(a1,a\o\al(2,3))＋eq\f(1,a3)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a5.二、填空题7．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为－eq\f(1,2).eq\x(导学号27542517)[解析]由条件：S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝2a1S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝4a∴(2a1－1)2＝a1·(4a即4aeq\o\al(2,1)＋1－4a1＝4aeq\o\al(2,1)－6a1，∴a1＝－eq\f(1,2).8．所有正奇数按如下数表排列(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)，则第6行中的第3个数是\x(导学号27542518)第一行1第二行35第三行791113……[解析]设所有正奇数构成数列{an}，an＝2n－1，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34及数表结构可知所求的数为a34，∴第6行中的第3个数为a34＝2×34－1＝67.三、解答题9．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列.eq\x(导学号27542519)(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.[解析](1)设公差为d，由题意，得aeq\o\al(2,11)＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝eq\f(n25＋31－6n,2)＝－3n2＋28n.10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋\x(导学号27542520)(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.[解析](1)设公比为q(q>0)，∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴a1q2－a1q－4＝0，即q2－q－2＝0，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由已知得bn＝2n－1，∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f([1＋2n－1]n,2)＝2n＋1－2＋n2.能力提升一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于eq\x(导学号27542521)(A)A．6 B．7C．8 D．9[解析]设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A．2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝eq\x(导学号27542522)(C)A．7 B．8C．15 D．16[解析]设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a∴q2－4q＋4＝0，q＝2.∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝15.3．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝eq\x(导学号27542523)(C)A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2[解析]由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝4．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于eq\x(导学号27542524)(B)A．eq\f(6,5) B．eq\f(5,6)C．20 D．110[解析]由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(a3·a5·…·a2n＋1,a2·a4·…·a2n)·a1＝a1·qn＝an＋1，∴an＋1＝eq\f(100,120)＝eq\f(5,6).二、填空题5．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值\x(导学号27542525)[解析]b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，∴eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2ab＋4b2＋2bc,a＋bb＋c)＝eq\f(2ba＋2b＋c,ba＋2b＋c)＝2.6．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq\f(n＋2,3)an，则an＝eq\f(nn＋1,2).eq\x(导学号27542526)[解析]∵Sn＝eq\f(n＋2,3)an①∴Sn－1＝eq\f(n＋1,3)an－1(n≥2)②，①－②得an＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)(n≥2)∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(3,1)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(4,2)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(5,3)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1).将上述n－1个式子相乘，得eq\f(an,a1)＝eq\f(nn＋1,2)，又∵a1＝1，∴an＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)．又a1＝1满足上式，∴an＝eq\f(nn＋1,2).三、解答题7．(2023·全国卷Ⅲ文，17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝\x(导学号27542527)(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解析](1)由题意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，因此an＝eq\f(1,2n－1).8．已知数列{an}的首项a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，n＝1,2，….eq\x(导学号27542528)(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)))的前n项和Sn.[解析](1)∵an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋1,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)·eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，又a1＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,a1)－1＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列．(2)由(1)知eq\f(1,an)－1＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,2n)，即eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)＋1，∴eq\f(n,an)＝eq\f(n,2n)＋n.设Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，①则eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，②①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(\f(1