第4章 理想流体动力学

理想流体动力学

本章主要内容

1、欧拉运动微分方程

2、拉格朗日积分式

3、伯努利积分式

4、伯努利方程的几何意义和能量意义

5、动量定理和动量矩定理

欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本方程，欧拉于1775年根据牛顿第二定律F=ma列出理想流体的欧拉运动微分方程：

推导过程：某瞬间在理想流体中棱边为dx,dy,dz的平行六面体，顶点A(x,y,z)处的速度V（x，y，z)压力ｐ(x，y，z)

yxzdydzdxA(x,y,z)由牛顿第二定律：

Fi＝ｍａi(ｉ=x，y，z）以ｘ方向为例：（1）表面力沿ｘ向的合力：

（理想流体，各面上无切应力）（2）质量力在ｘ轴上的投影：ρXdxdydz（3）加速度在ｘ方向的投影：yxzdydzdxA(x,y,z)将以上各式代入（4-1）式中，并取ｉ＝ｘ，得如下第一式。同理可得其余的两式：连续性方程：以上四个方程式组成的方程组刚好可用来求解四个未知函数

、

、

和p。拉格朗日积分式拉格朗日积分是欧拉方程在非定常无旋运动条件下的积分。其做了三个假设：（1）理想不可压缩流体，ρ=const；（2）质量力具有势函数。（3）运动是无旋的，存在速度势函数φ，满足：由（1）有由（2）有由（3）有将上述关系式代入欧拉方程，经过整理就会得到拉格朗日积分式。非定常无旋运动的拉格朗日积分式（流体的质量力只有重力的作用）定常无旋运动的拉格朗日积分式：

C为通用常数。上式在整个流场建立了速度与压力之间的关系。如果我们用理论或实验的方法求出了流场的速度分布，就可以应用拉格朗日积分式求出流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可以计算出流体与固体之间的相互作用力。应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。伯努利积分式拉格朗日积分式只能用于理想流体的无旋运动，对于有旋运动问题，我们有必要推到新的积分式，即伯努利积分式。其既可用于有旋运动，又可用于无旋运动。其也做了三个假设：（1）理想不可压缩流体，质量力有势；（2）定常运动；（3）沿流线积分。由（1）和（2）有对于定常运动，流线与轨迹线重合，而在轨迹线上质点的位移等于速度乘以时间。将以上各式带入欧拉方程会得到将此三式相加，考虑到ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2，有因此，在流线上有于是得到在重力场中Ｕ＝－ｇｚ因此，欧拉方程的定常运动条件沿流线积分得到的伯努利积分式，即伯努利方程式。拉氏积分和伯氏积分的不同点：（1）应用条件不同。拉氏积分只能用于无旋运动，伯氏积分没有这种限制。（2）常数C的性质不同。拉氏积分中的常熟在整个流场取同一值，称之为普遍常数，伯氏积分的常数

只能在同一根流线上有意义，不同流线取不同值，称之为流线常数。为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动，否则称为急变流动。渐变流动特点：项在整个过水（过流）断面上为常数。为简单计，约定取过水断面形心处的数值。流线上任意一点的速度ｖ近似地用过流断面上的平均流速U来代替即用近似代替。于是有其中1、2是总流的任意两个“渐变的”过水断面。方程适用条件：（１）理想流体，定常流动；（２）只有重力的作用；（３）流体是不可压缩的；（4）１、２截面处流动须是渐变流。但1、2两断面间不必要求为渐变流动。伯努利方程的几何意义和能量意义几何意义：具有长度量纲，单位为m，表示流体质点或空间点在基准面以上的集合高度，又称位置水头。：也具有长度量纲，单位为m，表示流体在压力p（相对压力）的作用下测压管中液面上升的高度，称为压力高度或压力水头，记为

。：这一项也具有长度量纲，单位为m，称为流速高度或速度水头，记为

。因此，伯努利方程即对于理想流体的定常运动，沿着流线的几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数。也就是说三个高度加起来的总水头H的端点的连线是一条水平线。能量意义：：代表单位质量流体的位能，记为。即

：单位质量流体的压力能，记为

。：单位质量流体的动能，记为

。即因此，伯努利方程

对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。因此伯努利方程式能量守恒定律在流体力学中的体现。动量定理及动量矩定理工程中常常需要求流体和物体之间的相互作用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合适与方便。理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在该质系上的合外力，即为应用方便，需将动量定理转换成适合于控制体的形式（欧拉法）。控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、大小任意，固定不动的空间。控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。流体经过控制面流入、流出。通过控制面一般有流体质量、动量、能量交换，控制体内与控制体外的流体或固体存在作用力与反作用力。适合于控制体形式动量方程推导如下：流场中任取控制体体积为τ，控制面积σ，t时刻：流体在σ内,t+dt时刻：流体移到σ′内,总动量变化率：定常运动时，流体质点离开空间区域Ⅱ,该位置将被同样速度的另一质点所占据,即公共区域Ⅱ内动量不变，即σ1的外法线与速度矢量相差180o，故取负号所以有两项积分可合并成在σ＝σ1＋σ2上的积分

由动量定理，控制面σ内流体的动量变化率应等于作用于σ内流体上外力的总和，即并可推导出式中包括：（１）质量力，尤其是重力；（２）作用于σ上的合压力为：（３）流体中的物体施加于流体上的作用力，这一项正是要求出的力。若略去重力，有于是动量定理可以写成：为控制面