第2章 逻辑代数及其应用

第2章逻辑代数及其应用第2章逻辑代数及其应用2.1逻辑代数的基本公式和导出公式2.2代入定理及其应用2.3逻辑函数及其描述方法2.4逻辑函数的化简方法2.5具有无关项的逻辑函数及其化简2.6逻辑函数式形式的变换2.1逻辑代数的基本公式和导出公式数字电路研究的内容：研究输入信号与输出信号之间的对应逻辑关系故此，数字电路又称数字逻辑电路用1位二进制数1和0表示事物的两面表因果关系逻辑关系逻辑代数1849年英国数学家布尔逻辑运算：当两个二进制数码不表示数量大小，仅表示两种不同的状态时，它们之间可以进行逻辑运算。基本的逻辑运算有：与（AND）、或（OR）、非（NOT）复杂的逻辑运算有：与非（NAND）、或非（NOR）、与或非（AND－NOR）、异或（EXCLUSIVEOR）、同或（EXCLUSIVENOR）2.1.1逻辑代数的三种基本运算与、或、非的电路例子与或非·+1、函数式：ABY0000101001112、真值表(TruthTable)一、与（AND）3、逻辑功能：全1出1，有0出04、逻辑符号：Y=A·B可略去输入端个数可扩展与、或、非的电路例子与或非·+1、函数式：ABY0000111011112、真值表(TruthTable)二、或（OR）3、逻辑功能：有1出1，全0出04、逻辑符号：Y=A＋B与、或、非的电路例子与或非·+1、函数式：2、真值表(TruthTable)三、非（NOT）3、逻辑符号：Y=A’AY01101、函数式：2、真值表(TruthTable)四、与非（NAND）Y=（AB）’ABY0010111011103、逻辑功能：全1出0，有0出14、逻辑符号：1、函数式：ABY0010101001102、真值表(TruthTable)五、或非（NOR）3、逻辑功能：有1出0，全0出14、逻辑符号：Y=（A＋B）’1、函数式：2、真值表(TruthTable)六、与或非Y=（AB＋CD）’3、逻辑符号：ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111101、函数式：ABY0000111011102、真值表(TruthTable)七、异或（EXCLUSIVEOR）3、逻辑功能：相同出0，相异出14、逻辑符号：Y=A＋B=A’B+AB’1、函数式：ABY0010101001112、真值表(TruthTable)八、同或（EXCLUSIVENOR）3、逻辑功能：相同出1，相异出04、逻辑符号：Y=A⊙B=A’B’+AB输入端个数不能扩展例：是实现同或功能否？1、列真值表ABCY000100100100011010001010110011112、功能判断三个数是否相等。当A＝B＝C时，输出为1，否则为0；但不是同或功能。1、互为反运算2、异或的特殊运算同或与异或的关系A＋B=(A⊙B)’(A＋B)’=A⊙BA’1的个数为奇数时，异或结果仍为1例：思考题1、1⊕1⊕1⊕1⊕1=？2、3、(A⊕B)⊕C=?A⊕(B⊕C)2.1.2基本公式和若干导出公式一、基本公式0—1律0·A=0，1·A=A0+A=A，1+A=1重叠律A·A=A,A·A’=0A+A=A，A+A’=1交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)反演律(摩根律)（A·B）’=A’+B’（A+B）’=A’·B’还原律（A’）’=A1’=0，0’=1证明方法：真值表AB001111011011100111110000例2.1.1：（A·B）’=A’+B’的证明二、若干导出公式1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、2.2代入定理及其应用定义：将一个逻辑式代入同一变量的位置，等式仍成立。公理无需证明应用－摩根律的扩展例2.2.2用代入定理证明：A+A（B+C+DE）=A已知A+AB=A2.3逻辑函数及其描述方法2.3.1用真值表描述逻辑函数2.3.2用逻辑函数式描述逻辑函数2.3.3用逻辑图描述逻辑函数2.3.4用波形图描述逻辑函数2.3.5用卡诺图描述逻辑函数2.3.6用硬件描述语言描述逻辑函数2.3.7逻辑函数描述方法间的转换不具有唯一性逻辑函数（LogicFunction）Y＝F（A、B、C、…）Note：输入输出都是二值变量，只有0和1两种状态；若有超过两个的状态，可多设几个变量。2.3.1用真值表描述逻辑函数输入变量A

BC····输出Y1Y2

····输入变量所有可能的取值输出对应的取值2.3.2用逻辑函数式描述逻辑函数将逻辑函数的输出写成输入逻辑变量的代数运算式。例如：

逻辑函数式的标准形式：最小项之和一、最小项及其性质1、最小项（1）定义：在n变量逻辑函数中，全体输入变量的与项（乘积项），称为最小项。可以是原变量或反变量，但只能出现一次。例：

A、B、C三变量的函数有哪些最小项？共有多少个？AA’BC是最小项吗？答：共有个AA’BC中出现两次A，故不是最小项。（2）编号：使最小项等于1的输入取值111110101100011010001000m7m6m5m4m3m2m1m0类似：当n＝4，有m0到m15共16个最小项（3）性质①在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1②全体最小项之和为1。③任意两个最小项的乘积为0。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。两个最小项只有一个因子不同，例：+AB合并二、逻辑函数式的最小项之和形式1、又称标准与－或式例：判断是否为最小项之和，若不是请转化为标准与－或式。2、应用：为着逻辑化简，进而简化设计步骤：①判断输入变量个数②判断每个与项是否为最小项是不是③给非最小项配项，展开，即得。按从小到大的顺序例2.3.3：与-或式2.3.3用逻辑图描述逻辑函数用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数，得到的连接图,称为逻辑图。2.3.4用波形图描述逻辑函数将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次排列起来画成的时间波形，称为函数的波形图。ABY0001101100001111110100001111.最小项的卡诺图表示法用2n个小方块阵列图表示2n个最小项用几何相邻表示逻辑相邻ABC0001111001m0

m1

m3

m2

m4

m5

m7

m6

三变量卡诺图ABCD000111100001m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101110四变量卡诺图上下左右对称相邻＋格雷码排序m0

m1

m2

m3

A0101两变量卡诺图B2.3.5用卡诺图描述逻辑函数五变量的卡诺图例：步骤：②根据输入变量画卡诺图①将函数式写成最小项之和形式1ABCD0001111000011110③对应最小项中填入1，没出现的填011111112.用卡诺图表示逻辑函数00000000简化表示例：用卡诺图表示逻辑函数步骤：②根据表达式填入1和0①根据输入变量画卡诺图ABCD000111100001111011111111000101X01X1110XX00000000例2.3.6：步骤：②根据表达式填入1和0①根据输入变量画卡诺图ABCD0001111000011110111111000X10101111XX0010000000002.3.6用硬件描述语言描述逻辑函数EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage

①VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

②VerilogHDLHDL及其应用可参见第8章2.3.7逻辑函数描述方法间的转换1、真值表逻辑函数式2、逻辑图逻辑函数式4、真值表波形图3、函数式卡诺图例：从真值表得到逻辑函数式1、真值表逻辑函数式ABCY00000010010001111000101111011110步骤：①找出输出为1的项②每个项对应一个与项输入取值：1—原变量

0—反变量A’BCAB’CABC’③全部与项相加，即得YY＝A’BC＋AB’C＋ABC’例：从逻辑函数式得到真值表1、真值表逻辑函数式，求对应真值表ABCY000001010011100101110111步骤：①根据输入输出变量数列空表②将各种取值逐一代入Y式计算，结果填入表。逐项填1最后填0111111002、逻辑图逻辑函数式例2.3.8从逻辑函数式得到逻辑图步骤：用逻辑图形符号代替函数式中的逻辑运算符号，并按运算优先顺序连接即可。，画出对应的逻辑图2、逻辑图逻辑函数式例2.3.9从逻辑图得到逻辑函数式步骤：从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的逻辑式即可。3、函数式卡诺图例2.3.10从卡诺图得到逻辑函数式步骤：将卡诺图中填入1的位置上的那些最小项相加即可。

4、真值表波形图ABCY00000010010001111000101111011110例2.3.11从真值表得到波形图将ABC的取值按真值表的上下顺序排列即可。

步骤：0000001001000111100010111101111000004、真值表波形图例2.3.12从波形图得到真值表将ABC的取值按波形图的上下顺序对应列表即可。

步骤：ABCY111101101010001111000100100100002.4逻辑函数的化简方法化简目的：使逻辑关系明了设计中减少成本并提高可靠性化简标准：乘积项（与项）最少与项的因子最少化简方法：公式化简法卡诺图化简法(重点)*奎恩-麦克拉斯化简法（Q-M法）2.4.1公式化简法一、并项法二、吸收法三、消项法四、消因子法五、配项法·一、并项法例：二、吸收法例：被吸收被吸收三、消项法例：四、消因子法例：被消去五、配项法例：1五、配项法例：能否判断为最简式？总结公式化简法无具体步骤同时结果无法确定是否最简？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！1、原理：相邻最小项可合并，消去不同因子2、规则：合并2n个相邻项2个－消去1个因子4个－消去2个因子2n个－消去n个因子卡诺圈尽量大卡诺圈尽量少最小项可重复使用2.4.2卡诺图化简法化简规则（1）相邻单元的1个数是2N个，并组成矩形时，可以画出一个卡诺圈，卡诺圈内的最小项可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110（2）画的卡诺圈尽量大，尽量少（但要包含全部1）ABCD00011110000111000000000111111100ABCD00011110000110010110011010111100（3）各最小项可以重复使用，但不可重复圈BABCD00011110000101101111111010111010ABCD000111100001010001111100101110103、卡诺图化简步骤：例2.4.3：用卡诺图化简法化简下式：步骤：②画卡诺圈①用卡诺图表示函数ABC0001111001111111③写出每个卡诺圈的公共项，并求和。Note：卡诺图是唯一的，但画圈不是唯一的。00例：F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A2.5具有无关项的逻辑函数及其化简2.5.1约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2.5.2具有无关项的逻辑函数的化简2.5.1约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项无关项约束项任意项输入变量的某些取值在工作过程中始终不会出现，我们把这些输入变量取值下等于1的最小项称为约束项。在输入变量的某些取值下，输出是1、是0均可，是任意的。在这些输入变量下取值为1的最小项叫做这个函数的任意项。