第六章勒让德函数

第六章勒让德函数第一节勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。2.方程的常点和奇点4.正则奇点邻域的级数解二、勒让德方程与勒让德多项式2.勒让德多项式勒让德方程的一般解为：其中级数在x<1收敛，而在x=±1处发散。和但物理问题往往要求：当时，y(x)为有限,因此需要进一步确定满足此定解条件的解。从系数递推公式：l为偶数：l=2n（n为正整数），则级数将到项为止。因为：k=l=2n时，均为零，即退化为多项式，其最高次幂为。此时若取，则得：同理，l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级数将到项为止。因为：k=l=2n+1时，均为零，即退化为多项式，其最高次幂为。此时若取，则得：这样，无论l为偶数还是奇数，这样选取系数后，所得的多项式为勒让德方程在满足定解条件下的解。3.勒让德多项式的简洁形式为了与后面要引入的勒让德母函数所得结果一致，通常取多项式最高次幂的系数为：由系数递推公式低次幂项的系数多项式，记作。由令k=l−2,l−4,…,l−2s，得：由于k,l均为整数，所以其中定义为：于是得到的具体表达式：由勒让德多项式还可以得到以下结果：（1）奇偶性（2）的特殊值4.勒让德多项式的微分表达式——罗德里格斯公式勒让德多项式的另一种表示——微分表示——罗德里格斯公式证明：由二项式展开定理得：所以：注意到：凡是指数(2l-2s)<l的项经l次求导后为0，故只剩下2l−2s≥l的项，即2s≤l，于是得：因此有5.勒让德多项式的母函数、勒让德多项式的积分表达式——施列夫利公式(1)定义：若函数w(x,t)的泰勒级数为t：复变数则称w(x,t)为的母函数（或生成函数）。C’：u平面的曲线，是t平面曲线C的像勒让德多项式的积分表达式——(1)施列夫利公式勒让德多项式的积分表达式——(2)拉普拉斯积分6.勒让德多项式的递推公式递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数之间存在着一定的关系。具体如下：证明：(1)由母函数关系式两边对t求导，有：改写为：两边乘以(1−2xt+t2)，再将母函数关系式代入，有比较两边的系数，有：整理上式：当时，由于：，所以(2)由母函数关系式两边对x求导：又整理上式后比较等式两边的系数，得递推关系式(2)。7.勒让德多项式的正交性与正交归一关系式(1)勒让德多项式的正交性：另一种形式：勒让德方程可改写为下述形式：由于和分别是l阶及k阶方程的特解，因此用乘以第一式，乘以第二式后相减，然后再积分，得利用母函数的关系式，有：

(2)的模两边对x积分，并利用勒让德多项式的正交性上式左边的积分在的区域将展开成泰勒级数P64例3.3.6上式在的区域内对任意的t成立，故有归一化因子(3)勒让德多项式的正交归一关系式8.广义傅里叶级数的完备性若函数f(x)在[-1，1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则f(x)在[-1，1]上可以展开成绝对且一致收敛的级数。——广义傅里叶级数可以作为广义傅里叶级数展开的基，且是完备的。展开系数的求法：例1:将在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式

10.关联勒让德方程与关联勒让德函数(1)关联勒让德方程I.m≥0设是勒让德方程的解，故有：将上式对x求m阶导数：由计算上式左边第(1)、(2)项上式实际上是关于所满足的方程。设：代入关联勒让德方程，得：与满足相同的方程关联勒让德方程的一个特解：记作：II．m<0将代入关联勒让德方程，得：上式的特解：III.关联勒让德方程的特解(2)关联勒让德函数的微分将罗德里格斯公式代入方程的特解，得：(3)关联勒让德函数的正交性与正交归一关系式I.关联勒让德函数在区间[-1,1]具有正交性：II.关联勒让德函数的模IV.广义傅里叶级数关联勒让德函数的完备性若函数在区