《三角函数》复习与小结

《三角函数》复习与小结（1）一.复习内容三角函数二.知识要点：1.角的概念的推广（1）角的概念、正角、负角、零角的概念。在这些概念中要注意旋转的方向。（2）象限角的概念，这个概念的前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合。在这个前提下，才能由终边所在象限来判定某角为第几象限角。在上述前提下，如果某角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。①会表示象限角、区间角、终边相同的角及其它特殊角。（3）终边相同角的统一记法，与角α终边相同的角的一般形式为α＋k·360°。要注意：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。2.弧度制（1）把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。（2）弧度制的意义：首先是定义三角函数及绘制三角函数图象的需要，其次弧度数是实数，它把角集合与实数集合之间建立了一一对应关系，再次可简化弧长公式与扇形面积公式。（3）角度制与弧度制的换算：180°＝πrad是角度与弧度换算公式的基础，这里π是圆周率，应注意π≠，π≠1rad。3.任意角的三角函数（1）三角函数的概念：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离为r，三个量的六种比值是：这六种比值分别叫做α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。这种以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称为三角函数。由于角α终边确定，由几何知识知，这六个比值与P点在α终边上的位置无关。（2）三角函数线借助三角函数定义，可用单位圆中的有向线段MP，OM，AT等分别表示α角的正弦，余弦，正切。可见三角函数线是三角函数定义的形象表示。（注意课本上字母的确定位置。）（3）三角函数值以及符号由于用角α终边上点的坐标来定义三角函数，因此，由点的坐标的符号，就可以决定α的六个三角函数值符号。（4）终边相同的三角函数值由三角函数的定义知：终边相同的角的同一三角函数值相同。即：它可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°之间角的三角函数值。4.同角三角函数基本关系式（1）根据一个角的某一三角函数值求其它的三角函数值。需注意先用平方关系，后用商数关系，最后用倒数关系，关键注意符号问题。（2）三角函数式的化简，注意化简的结果做到“五个尽量”，即①项数尽量少，②次数尽量低，③尽量不含分母，④尽量不带根号，⑤尽量化为数值。（3）三角恒等式的证明，掌握常规的化弦法（即：切割化弦）以及由繁到简法等。5.诱导公式同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。此外，我们还证明了诱导公式对于α为任意角都能成立。（1）［0°，360°］间的角用［0°，90°］间的角表示。若0°≤α≤90°，则［90°，180°］间的角可表示为180°－α。［180°，270°］间的角可表示为180°＋α，［270°，360°］间的角可表示为360°－α。6.两角和与差的正弦、余弦、正切（2）变换α与β的取值及运用公式与同角三角函数关系式得：说明：（1）对于公式（*）初中要求α、β为锐角，事实上可以取任意角。倍角公式：它们的内在联系及其推导线索如下：7.三角函数的图象和性质［要点1］用“五点法”作图。五个特殊点。［要点2］正弦函数、余弦函数性质。研究函数性质通常从五个方面研究：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。（1）五点法画图（2）变换9.已知三角函数值求角（1）反正弦概念反正弦的定义理解反正弦概念须注意以下几点：arcsina无意义。（2）反余弦概念反余弦的定义理解反余弦定义须注意：（3）反正切概念

【典型例题】例1.试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值和最小值。解：说明：本题主要通过换元将三角问题转化为代数问题。

例2.解：说明：本题关键是将sinαcosβ与cosαsinβ看成一个整体，通过解方程组而求解。

例3.解：说明：然后再求值。

例4.（1）求f(x)的最小正周期。（2）求f(x)取得最值时x的值。（3）求f(x)单调递增区间。解：

例5.解：

例6.解：例7.如图在地面上有一旗杆OP，为了测得它的高h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°解：在△AOB中，运用余弦定理：答：旗杆的高度为20m

【复习测试】一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1、已知是第二象限角，，则是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角2、已知，则下列命题正确的是（）A、若、为第一象限角，则B、若、为第二象限角，则C、若、为第三象限角，则D、若、为第四象限角，则3、函数是（）A、周期为的奇函数B、周期为的偶函数C、周期为的奇函数D、周期为的偶函数4、函数的定义域是（）A、B、C、D、5、化简的结果为（）A、B、C、D、6、的单调递减区间是（）A、B、C、D、7、设，，则的值为（）A、B、C、D、8、的值为（）A、B、C、1D、09、以为最小正周期的偶函数在上单调递增的函数是（）A、B、C、D、10、当的最大值和最小值分别是（）A、B、C、D、11、要得到的图象，只要将的图象（）A、向左平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位12、下列各式，正确的是（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知、都是锐角，，，则________。14、中，，且，则_________，__________。15、化简______________。16、已知在一个周期内有最高点，最低点，则该函数的解析式是__________。三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、（本小题满分12分）已知，求的值。18、（本小题满分12分）已知函数。⑴当取最大值时，的取值范围是什么？⑵该函数的图像可由的图象如何变换得到？19、（本题满分12分）已知，求证：。20、（本小题满分12分）已知对于，都有成立，且，求的值。21、（本小题满分12分）已知、、是方程的两根，求。22、（本小题满分14分）在中，已知三个内角、、满足。⑴若任意变换、、的位置，的位置是否会发生变化？证明你的结论；⑵求的最大值。参考答案1、C2、D3、A4、A5、A6、B7、B8、D9