《分解因式法》设计

《分解因式法》教学设计（1）一.本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用

［学习目标］1.熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。2.学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。3.通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。4.通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。

二.重点、难点：1.教学重点：①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。

2.教学难点：①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。

【典型例题】例1.分解因式① ②③ ④⑤分析：前四个均为二次三项式或二元二次三项式的因式分解，直接用公式进行分解。其中为方程的两根。，其中为关于x的方程的两根。第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。解：①令∴②解法1：令，则∴解法2：解法3：③令，解这个关于x的方程得：∴④∵∴不能因式分解，在实数范围。⑤∵令，无实根。∴在实数范围内不能分解因式。∵令∴∴点拨：②中三种方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意结果写成幂的形式。③二元时选其中一元为主元，另一元为已知数，即可。注意最终结果的简洁形式，④⑤中都要考虑二次三项式可在实数范围内因式分解的条件是：，⑤要综合应用，并注意因式分解必须彻底。

例2.分解因式：分析：形如的多项式，叫关于x，y的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：①双十字相乘法，②待定系数法，③公式法。解：解法1：∵∴解法2：设比较对应项系数∴解法3：整理为关于x的二次三项式令，则∴∴

例3.黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六·一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？分析：经济类问题应用。要切实理解减少库存是本题需要。解：设每件童装应降价x元，根据题意，解得：因要减少库存，∴，答：每件童装应降价20元。

例4.某中学的校办工厂的年产值1998年是50万元，年年增加，到2000年达万元。问（1）平均每年的年产值增长率是多少？（2）三年总产值多少？分析：储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题。假设年利率为x，本金a，则n年后本利和为，增长率亦如此。解：（1）设每年平均增长率x，则1999年产值万元，2000年产值万元，由题意：解得：（不合题意，舍去）答：平均每年增长率为10%。（2）答：1998至2000年这三年总产值为万元。点拨：注意舍去不合题意的根，别忽略（2）的计算与做答。

例5.两个连续偶数积为288，求这两个数。分析：两个连续偶数差2，可设x，。解：设这两个偶数分别为x，x＋2，根据题意，解得：答：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。点拨：如果两个连续奇数也可这样设，但更好的设法是：，就有∴更简单。

例6.一个矩形的硬纸片，它的长比宽的2倍少4厘米，在它的四个角上各剪去一个边长为2厘米的正方形，然后折成一个无底的小盒子，如果这个小盒的体积为484立方厘米，求原来矩形纸片的长和宽。分析：设原矩形宽为x厘米，那么长厘米，在四个角各剪去一个边长为2厘米的正方形折成无盖小盒，则小盒底面宽为厘米，长为厘米，高为2厘米。解：设原矩形纸片的宽为x厘米，则长为厘米，根据题意列方程，得：∴（负值舍去）∴答：原矩形纸片的长为26厘米，宽为15厘米。点拨：列一元二次方程可解决体面积有关的应用题，注意舍根。

例7.一个直角三角形，斜边，两条直角边长相差，求这个直角三角形的两条直角边的长。分析：在Rt△中，三边a，b，c满足，这是构造方程的相等关系。解：设一条直角边长为xcm，则另一条边长为。根据题意列方程解得（不合题意，舍去）。答：两条直角边长分别是8cm和4点拨：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。

例8.用100cm的金属丝，作成矩形的框子，使面积分别为（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm分析：可列方程组解决面积问题。解：设矩形长为x（cm），宽为y（cm），则（1）由为方程的两根。答：面积为500cm2时，长约是36.2cm，宽约是（2）易知x，y是方程的两根，答：面积为625cm2时，长是25cm，宽也是25cm（3）x，y为方程的两根，无实根。答：面积800cm2，周长100点拨：解题后，思考三小题：用100cm长的铁丝围成500cm2的矩形做成了；再围大点，面积625cm2，围成了正方形；再大点，面积

［总结扩展］（1）用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将形式。（2）二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。（3）联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤：①首先考虑能否提取公因式；②其次考虑能否选用十字相乘法；③最后考虑公式法。（4）通过二次三项式因式分解的学习，提高分析问题、解决问题的能力；通过结论探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。（5）注意：①在进行类似分解因式时，千万不要漏掉字母y；②因式分解一定进行到不能再分解为止；③分解时注意二次三项式因式分解的条件。（6）“一元二次方程的应用”是“一元一次方程的应用”的继续和发展。由于用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的。所以，通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。（7）列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案。列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在。（8）善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程。由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法。（9）进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）一、选择题1.下列多项式不能在实数范围内分解的是A. B.C. D.2.多项式实数范围内分解如下A.B.C.D.3.两个连续正整数的和的平方比它们的平方和大112，则这两个正整数是A.5，6 B.7，8 C.8，9 D.6，74.某印刷厂一月印50万册，二，三月共印132万册，问二、三月平均每月增长的百分数是A.20% B. C.10% D.15%5.某工厂计划在长24米，宽20米的空地中间划出一块A.14米 B.C.14米或8米 D

二、填空题6.因式分解①＝②＝③＝④＝⑤＝7.一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。8.某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱元，平均每次降价率为_________。9.有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。10.一矩形面积132cm2，周长46cm，则矩形长是_________，宽是11.连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。

三、解答题：12.已知二次三项式是一个完全平方式，求m的值。13.面积为150m2的矩形鸡场，长边靠墙（墙长18m14.一批上衣原来每件500元，第一次降价，销售甚慢，第二次大幅降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元价格迅速售出，求每次降价的百分率。15.在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB、BC的比例中项，求线段AC的长。

【试题答案】一、选择题1.C 2.B 3.B 4.A 5.B

二、填空题6.①②③④⑤7.25或368.10%9.小数为x，10.12cm，11.9

三、解答题：12.解：∵原二次三项式是完全平方式∴13.解：设篱笆长为xcm，根据题意，解得：检验：，鸡场长超过墙长是不可能的，舍去。又答：鸡场长为15m，宽为1014.设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意即∴（不合题意，舍去）又答：第一次降价20%，第二次降价40%。15.解：由题意，（舍负）∴答：线段AC长为a。

【励志故事】骆驼的无奈在动物园里的小骆驼问妈妈：“妈妈妈妈，为什么我们的睫毛那么的长？”骆驼妈妈说：“当风沙来的时候，长长的睫毛可以让我们在风暴中都能看得到方向。”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为