《金新学案》高考数学总复习 9.3空间中的垂直关系课件 文 大纲人教

第3课时空间中的垂直关系1．直线和平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的

直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的

．(2)直线和平面垂直的判定定理定理：如果一条直线和一个平面内的

直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号表示：若aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.任何一条垂面两条相交(3)直线和平面垂直的性质定理定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线

．符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.作用：可作为线线平行的判定定理．(4)三垂线定理①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的

垂直，那么它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条

垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

平行射影斜线2．平面和平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面

另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．直二面角经过(3)两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号语言形式：如果α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l，那么a⊥β.1．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是(

)A．VA⊥BC

B．AB⊥VCC．VB⊥ACD．VA⊥VB答案：

C2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.答案：

A3．关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是(

)A．①②

B．③④C．①④

D．②③解析：很明显①错，故排除A、C，②正确，排除B.答案：

D4．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件______时，有m∥β；(填所选条件的序号，下同)(2)当满足条件________时，有m⊥β.解析：先画出①②③④⑤的图形．答案：

(1)③⑤

(2)②⑤5.△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．解析：

BC⊥平面PAB，故△PBC是直角三角形，从而图中直角三角形的个数共有4个．答案：

41．判定定理理可以简单单地记为“线线垂直线面垂直直”，定理中的的关键词语语是“平面内两条条相交直线线”和“都垂直”．2．证明线面面垂直的方方法：(1)线面垂直的的定义，在在用定义时时注意“平面内任意意一条直线线”与“平面内无数数条直线”是两个不同同的概念，，直线与平平面内无数数条直线垂垂直时，直直线与平面面不一定垂垂直．(2)线面垂直的的判定定理理．(3)两条互相平平行的直线线的性质.3．直线和平平面垂直的的性质定理理可以作为为直线与直直线平行、、平面与平平面平行的的判定，实实现平行与与垂直的相相互转化．．Rt△ABC所在平面外外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.证明：(1)如图所示，，取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角角形，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥面SAC.[变式训练]1.如图，在四四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为为a的菱形．侧侧面PAD为正三角形形，其所在在平面垂直直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；证明：(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连结PG.因为△PAD为正三角角形，G为AD的中点，，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.1．三垂线线定理及及其逆定定理所论论述的是是三个垂垂直关系系：一是是直线与与平面垂垂直；二二是平面面内一条条直线与与斜线的的射影(或斜线)垂直；三三是这条条直线与与斜线(或射影)垂直．构构成定理理的五个个元素是是“一面四线线”．运用三垂垂线定理理及其逆逆定理的的步骤是是：确定定平面→作出垂线线→找到斜线线→连成射影影→找面内线线，其关关键是确确定平面面及平面面的垂线线．2．三垂线线定理及及其逆定定理主要要用于：：(1)立体几何何的证明明问题，，如线线线垂直、、线面垂垂直、面面面垂直直；(2)立体几何何的计算算问题，，如求空空间一点点到平面面内某一一直线的的距离，，求两平平行直线线间的距距离，求求两条异异面直线线所成的的角等；；(3)二面角问问题，主主要是构构造二面面角的平平面角．．如图，△ABC所在平面面α外一点P，已知PA⊥BC，PB⊥AC，求证：：(1)P在平面α内的射影影是△ABC的垂心；；(2)PC⊥AB.证明：(1)作PO⊥平面α于O点，连结结AO，并延长长交BC于D.连结BO并延长交交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂线定定理逆定定理)．同理，AC⊥BE，∴O为△ABC的垂心．．(2)连结OC，∵O为△ABC的垂心，，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂线定定理)．[变式训练练]2.如图所示示，四面面体A－BCD中，若顶顶点A在平面BDC上的射影影H是△BDC的垂心，，求证：：顶点C在平面ADB上的射影影H′也是△ABD的垂心．．证明：由三角形形垂心的的定义知知，连结结CH并延长与与BD交于E，则CE⊥BD.∵AH⊥平面BDC，∴直线CA在平面BDC上的射影影是直线线CE.∴BD⊥AC.由H′是C在平面ABD上的射影影，知CH′⊥平面ABD，连AH′并延长与与BD交于F点，则直线AF是斜线CA在平面ABD内的射影影．∵BD⊥AC，∴BD⊥AF.连结DH′，并延长长与AB交于G，同理从AB⊥CD可知AB⊥DG，∴H′是△ADB的垂心．．证明平面面与平面面垂直的的方法主主要有：：(1)利用定义义证明．．只需判判定两平平面所成成的二面面角为直直二面角角即可．．(2)利用判定定定理．．在审题题时，要要注意直直观判断断哪条直直线可能能是垂线线，充分分利用等等腰三角角形底边边的中线线垂直于于底边，，勾股定定理等结结论．如图，在在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE，[变式训练练]3.如图，已已知正方方形ABCD的边长为为1，分别取取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕折折叠，使使点B、C、D重合于一一点P.(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平平面APE⊥平面APF.证明：(1)∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.(2)∵∠APE＝∠EPF＝90°，AP∩PF＝P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.1．垂直关系的的转化在证明两平面面垂直时一般般先从现有的的直线中寻找找平面的垂线线，若这样的的直线图中不不存在，则可可通过作辅助助线来解决．．如有平面垂垂直时，一般般要用性质定定理，在一个个平面内作交交线的垂线，，使之转化为为线面垂直，，然后进一步步转化为线线线垂直．故熟熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件件是解决这类类问题的关键键．2．三垂线定理理和逆定理大大大简化了线线线垂直到线线面垂直的相相互转化过程程，同时三垂垂线定理也是是作二面角平平面角的重要要理论依据，，而使用三垂垂线定理和逆逆定理的前提提就是要会观观察点、直线线及图形在一一个平面内的的射影．对近三年高考考试题的分析析可以看出，，本节有以下下的命题规律律：1．考查热点：：直线和平面面垂直、平面面和平面垂直直的判定和性性质的应用．．2．考查形式：：常以选择题题、填空题形形式出现，解解答题的第一一问．3．考查角度：：一是将线面、、面面平行或或垂直的定义义、判定和性性质结合起来来，主要考查查灵活运用图图形的能力，，熟练地将文文字语言、符符号语言和图图形语言进行行相互转化的的能力．二是综合考查查线面、面面面平行与垂直直问题，从寻寻找判定定理理