山东省菏泽市牡丹区曹州实验中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省菏泽市牡丹区曹州实验中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在上的奇函数，则的值为（

）．A． B． C． D．参考答案：B∵是定义在上的奇函数，∴，即，且，∴．故选．2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．72 B．66 C．60 D．30参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断出该几何体为一个直三棱柱，求出它的高是5，底面为直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形，求出各个面得面积和，即所求的表面积．【解答】解：由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面为直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，∴表面积为3×4+（3+4+5）×5=72，故选A．3.设,,，,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A由于，故，，故，而，故，所以，故选A.

4.等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为 A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B5.已知向量，，则（

）A．

B.2

C.

D.参考答案：B略6.设全集,集合,,则等于A． B． C． D．参考答案：B略7.如右图,在中，,是上的一点,若,则实数的值为(

)（A）（B）（C）

1

（D）参考答案：A略8.函数f（x）=xex﹣x﹣2的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．【解答】解：f′（x）=（x+1）ex﹣1，f″（x）=（x+2）ex，令f″（x）＞0，解得：x＞﹣2，令f″（x）＜0，解得：x＜﹣2，故f′（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，故f′（x）min=f′（﹣2）=﹣﹣1＜0，而f′（0）=0，x→﹣∞时，f′（x）→﹣∞，故x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的最小值是f（0）=﹣2，故函数f（x）的零点个数是2个，故选：C．9.已知抛物线上一点M（1，m）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行、则实数a等于（）

A、B、C、D、参考答案：A

【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．H6H7解析：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线﹣y2=1的左顶点为A（﹣，0），渐近线方程为y=±x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选A．【思路点拨】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．10.函数的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）==﹣=﹣f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误故选：D【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个四棱锥的体积为_________．参考答案：

12.已知函数的图象经过点A(1,1)，则不等式的解集为______.参考答案：（０，１）13.在直角坐标系中，定义两点P（x1，yl），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）=．

现有以下命题： ①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=； ②已知两点P（2，3），Q（sin2）,则d（P，Q）为定值； ③原点O到直线x－y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为； ④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）； 其中为真命题的是

（写出所有真命题的序号）。参考答案：①②④14.三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，则球I的半径是_________．参考答案：1略15.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是

．参考答案：>>略16.对任意实数x和任意，恒有，则实数a的取值范围为_____．参考答案：a或a【分析】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]，从而可得a，或a，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．【详解】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a②，或a③，在②中，，（sinθ+cosθ），显然当1≤x时，f（x）＝x为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1，由此可得a；在③中，（sinθ+cosθ），当且仅当sinθ+cosθ时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a．故答案为：a或a．【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．17.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，若△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为，最大值

．参考答案：；3．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据，△AOB是等腰直角三角形，可得点O到直线ax+by=1的距离等于，求得点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于的圆上，再根据点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，从而得出结论．【解答】解：由题意可得，△AOB是等腰直角三角形，故点O到直线ax+by=1的距离等于，即=，求得a2+b2=2，即点P（a，b）与点（0，0）之间距离为，即点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于的圆上．而点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，故点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为2﹣=；点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最大值为2+=3，故答案为：；3．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1，x∈R（1）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在闭区间[﹣]上的最大值与最小值．参考答案：考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（+2x），再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间[﹣]上的最大值与最小值．解答： 解：（1）∵函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（+2x），∴f（x）的最小正周期为=π．（3）在闭区间[﹣]上，2x+∈[﹣，]，故当2x+=﹣时，函数y取得最小值为2×（﹣）=﹣；故当2x+=时，函数y取得最大值为2×1=2．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19.（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．参考答案：解：（I），，…（2分）又，

，，…………（4分），

…………（5分）

（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）20.（12分）已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B?A，求m的取值范围．参考答案：考点： 集合的包含关系判断及应用．专题： 常规题型；计算题；分类讨论．分析： 解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．解答： 解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=?，满足B?A，即m＜2；当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B?A，即m=2；当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B?A，得即2＜m≤3；综上所述：m的取值范围为m≤3．点评： 本题考查的是集合包含关系的判断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类讨论．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）=2（sinxcosA﹣cosxsinA）cosx+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（﹣A）=0，由0＜A＜π，则A=，则f（x）=sin（2x﹣），由于x∈（0，），则2x﹣∈（﹣，），即有﹣＜sin（2x﹣）≤1．则值域为（﹣，1]；（Ⅱ）由正弦定理可得===，则sinB=b，sinC=c，sinB+sinC=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即49=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，即有bc=40，则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．22.记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=++…+．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．参考答案：【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2种情况进行讨论：①、若B=?，②、若B≠?，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故an=3n﹣1，（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1，（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，分析可得SC=SA+SC∩