山东省淄博市张店第三中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省淄博市张店第三中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016秋?天津期中）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（cosα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f（x）在[﹣1，0]上为减函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调增函数．在根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案．【解答】解：由题意：可知f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，又∵f（x）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β＜∴π﹣α﹣β，即，∴＞α＞﹣β＞0，∴sinα＞sin（）=cosβ；∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．所以f（sinα）＞f（cosβ），故选：D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．2.设、为两个非空实数集合，定义集合,若,,则中元素的个数为

（

）A.9

B.8

C.7

D.6参考答案：B3.已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（） A．（﹣2，2） B． [﹣2，2] C． [﹣2，）∪（，2] D． （﹣2，）∪（，2）参考答案：D4.已知向量满足，则

（

）A.0

B.

C.

4

D.8

参考答案：B略5.函数图像的一条对称轴是（）参考答案：C6.已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0） B．（﹣3，0） C．（0，4） D．（﹣5，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．7.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A.[0,)

B.

C.

D.参考答案：D8.设为定义在上的奇函数，当时，，则（

）

A.-1

B.-4

C.1

D.4参考答案：B9.“”是“”成立的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A10.函数在上的图象是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量，，满足，，，，则的最小值为

．参考答案：略12.已知，分别为双曲线，的左、右焦点，若在右支上存在

点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是

.参考答案：略13.阅读右边的框图填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，则输出的数是___．参考答案：b(或0.90.3)略14.已知向量，若，则

．参考答案：，因为，所以，即，解得.15.若实数x，y满足则的最大值为_____.参考答案：9如图的三角区域是线性约束条件表示的区域，由，得，可见是直线与轴的截距，要使取到最大值，只需取最小值，又在线性约束条件的限制下，直线的斜率是-1，所以当直线过三角区域最右上方的点时，取到最大值：。16.在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．参考答案：，

【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．17.曲线：（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．参考答案：考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用．专题：综合题．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答： 解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+x?lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．19.（本小题共14分）已知抛物线过点．（I）求抛物线的方程；（II）已知圆心在轴上的圆过点，且圆在点的切线恰是抛物线在点的切线，求圆的方程；（Ⅲ）如图，点为轴上一点，点是点关于原点的对称点，过点作一条直线与抛物线交于两点，若，证明:

．参考答案：所以

略20.（本小题满分12分）已知（）的周期开为，且图象上的一个最低点为M（，－1）。（1）求f（x）的解析式；（2）已知，求的值。参考答案：（1）由的周期为，则有，得；

………1分所以.因为函数图像有一个最低点，，所以,且，

……3分则有

,

……………4分解得，

因为，所以.

………5分所以，

.

……………6分

………7分,,又,

.

………9分………11分=

………12分

21.设椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1为QF2的中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与C交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，设F1、F2的坐标，可得Q点坐标以及向量、的坐标，分析可得，分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N的坐标表达△F1MN的面积，分析可得要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，进而设直线l的方程为x=my+1，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析可得，由换元法分析可得答案．【解答】解：（1）由题A（0，b），F1为QF2的中点．设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），，，由题，即，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0即a2=4c2，a2=4，b2=3故所求的椭圆C的方程为．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题y1，y2异号，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长为4a=8，，因此要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理得，，（△＞0?m∈R），令，则t≥1，，当t=1时，有最大值3，此时，m=0，，故△F1MN的内切圆的面积的最大值为，此时直线l的方程为x=1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意需要考虑直线的斜率是否为0．22.已知a∈R，函数f（x）=x2﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点个数．参考答案：考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）把绝对值函数化为分段函数，继而求出函数的最小值；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，分a＞1，a=1，a＜1三种情况讨论，其中a＞1，和a＜1时，还要继续分类讨论，根据二次函数的性质即可得到答案．解答： 解（Ⅰ）当a=1时，，故；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，当a＞1时，，1、x≥a时，h（a）=a＞0，对称轴，无零点．1≤x＜a时，x1=0（舍去），x2=a﹣1，所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，x＜1时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（1）=2﹣a所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，两个零点．综上所述，a＞1时，h（x）有两个零点，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，2．a=1时，，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，3．a＜1时，…x≥1时，对称轴，h（1）=a．所以（ⅰ）a≤0时，一个零点；（ⅱ）0＜a＜1时，无零点．a≤x＜1时，x1=0（舍去），x2=1﹣a，所以（ⅰ）时，一个零点；（ⅱ）时，无零点．x＜a时，△=a2+10a+1，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）所以（ⅰ）时，对称轴，h（a）=a（2a