山东省济南市稼轩中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

山东省济南市稼轩中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，x1≠x2总有＞0且f（1）=1．若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，则实数t的取值范围是(

)A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣1﹣或t≥+1C．t≤0或t≥2 D．t≥2或t≤﹣2或t=0参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有＞0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．∵f（1）=1，∴f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，最大值为f（1）=1，若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，∴t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at=﹣2ta+t2，则满足，即，∴t≥2或t≤﹣2或t=0，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．2.设，是z的共轭复数，则(

)A．－1 B．i C．1 D．4参考答案：C3.抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则（

）A．B．C.D．参考答案：C4.复数(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。5.函数的最小正周期是

（）A． B． C．

D．参考答案：B略6.若复数z满足，则复数z为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，，故选D.

7.函数的部分图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.若函数为奇函数，且在上为减函数，则的一个值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意得，∵函数为奇函数，∴，故．当时，，在上为增函数，不合题意．当时，，在上为减函数，符合题意．选D．

9.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为(

)A． B． C． D．参考答案：B略10.设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则是的(

)A．充要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是

(结果要求写成既约分数）．参考答案：解析：

考虑对立事件，12.已知则___________.参考答案：1等式两边平方得，即，所以，因为，所以，所以，所以。13.已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数

．参考答案：14.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）参考答案：5415.若=a+bi（i是虚数单位，a，b∈R），则乘积ab的值是．参考答案：-3略16.已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为

．参考答案：

17.设函数，则____；函数的值域是____.参考答案：，.试题分析：，∴，当时，，当时，，∴的值域为.考点：分段函数.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．

⑴求点P的轨迹方程；

⑵若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．参考答案：解：⑴设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，T4x－3y+4=0，

①BC方程：y=0，

②AC方程：4x+3y－4=0，

③∴25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，T25y2+16x2－(3y－4)2=0，T16x2+16y2+24y－16=0，T2x2+2y2+3y－2=0．或25y2－16x2+(3y－4)2=0，T16x2－34y2+24y－16=0，T8x2－17y2+12y－8=0．∴所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，

④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．

⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵DABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+．

⑥(a)直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b)k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．(c)k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c)k10时，k1时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．19.已知f（x）=，其中．（I）求f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=﹣1，a=，且向量垂直，求边长b和c的值．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积化简f（x）为余弦型函数，求出f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间即可；（Ⅱ）根据f（A）=﹣1求出A的值，利用平面向量的数量积和正弦、余弦定理，即可求出b、c的值．【解答】解：（Ⅰ）；∴f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2cos（2x+）+1，令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，当k=0时，﹣≤x≤﹣，当k=1时，≤x≤，∴f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间是[﹣，﹣]和[，]；（Ⅱ）△ABC中，f（A）=﹣1，∴2cos（2A+）+1=﹣1，∴cos（2A+）=﹣1，∴2A+=π，解得A=；又a=，向量垂直，∴?=2sinB﹣3sinC=0，由正弦定理得：2b﹣3c=0，∴b=c；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即=c2+c2﹣2×c2×，解得c=1；∴b=．20.（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）

求椭圆C的方程；（2）

E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。参考答案：解析：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。所以椭圆方程为

．

．．．．．．4分（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，。．．．．．．．8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。

．．．．．．．12分21.已知椭圆C：的离心率为，过C的左焦点做x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，且.（1）求椭圆C的标准方程及长轴长；（2）椭圆C的短轴的上下端点分别为A、B，点，满足，且，若直线AM、BM分别与椭圆C交于E、F两点，且面积是面积的5倍，求m的值.参考答案：（1）椭圆的标准方程为：，长轴长为4（2）【分析】(1)根据通径与椭圆的基本量的关系求解即可.(2)分别设直线,直线的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出面积是面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】解：（1）因为椭圆的左焦点横坐标为,由及,得,故,又,解得：,所以,椭圆的标准方程为：,长轴长为4.（2）∵,,,且,∴直线的斜率为,直线斜率为,∴直线的方程为,直线的方程为,由得,∴,,∴,由得,∴,,∴；∵,,,,∴,即,又,∴,整理方程得：,解得：.【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的运算以及直线与椭圆相交求面积的方法等.需要联立方程求解对应的面积表达式,代入韦达定理化简求得参数.属于难题.22.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（sinA,b+c），=（a－c,sinC－sinB）,满足=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设=（sin（C+）,）,=（2k,cos2A）（k>1）,

有最大值为3，求k的值.参考答案：解：（Ⅰ）由条件|p+q|=|p－q|，两边平方得p·q＝0，又p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）si