导数与解析几何-4

试卷第=page4040页，共=sectionpages4141页试卷第=page4141页，共=sectionpages4141页导数与解析几何一、填空题1．（2022·上海奉贤·一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.【答案】200【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.【详解】由题意可知，设利润为，则，而，当时，，时，，即在单调递增，单调递减，所以时，利润最大.故答案为：2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知，则______．【答案】##.【分析】先求出，然后代入中求解即可.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.3．（2022·上海虹口·一模）设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．【答案】【分析】根据导数几何意义求解.【详解】设切线与函数的切点为又因为，所以在处的导数值为所以，又因为切点在函数上，即所以切点为，所以切线方程，即故答案为：4．（2022·上海闵行·一模）若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．【答案】1【分析】对函数求导得，令，求解即可.【详解】解：因为，所以，又因为直线的斜率为，所以，解得：，即切点的横坐标为：1.故答案为：15．（2022·上海崇明·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.【答案】【分析】求导得，从而可得切线的斜率，用点斜式写出切线方程再化简即可.【详解】解：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，所以切线方程为：，即或.故答案为：6．（2022·上海海洋大学附属大团高级中学高三阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】先由函数奇偶性的判断得到是奇函数，再由导数得到在上单调递增，从而利用的奇偶性与单调性即可解得不等式得到的取值范围.【详解】因为，所以的定义域为，显然关于原点对称，又，所以是奇函数，又，所以在上单调递增，所以由得，则，所以，即，解得，即.故答案为：.7．（2022·上海徐汇·一模）已知正实数满足，则的取最小值___________.【答案】【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，所以，如图所示，点A关于直线对称的点设为，则有解得，所以，由图可知，当在直线时，最小，最小值为，即的最小值为，故答案为：.二、解答题8．（2022·上海奉贤·一模）已知函数,其中.(1)求函数在点的切线方程;(2)函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2),不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点(3)【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.【详解】（1）解:由题知,,所以在点的切线方程为,即;（2）设,定义域,,当时,恒成立,所以在单调递增,所以不存在极值点,当时,令，当时,，当时,，所以在单调递减,在单调递增,所以函数存在一个极小值点,无极大值点,综上:时,不存在极值点,时,存在一个极小值点,无极大值点;（3）由题知原不等式,可化为,当时,恒成立,当时,即,由(2)知在有最小值,所以,,,,,即,,,综上:.【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若，恒成立，则只需;(2)若，恒成立，则只需;(3)若，恒成立，则只需;(4)若，恒成立，则只需;(5)若，恒成立，则只需;(6)若，恒成立，则只需;(7)若，恒成立，则只需;(8)若，恒成立，则只需.9．（2022·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．①在上的导数存在；②在上的导数存在，且（其中）恒成立．(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函数在区间上具有性质；(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；(3)的最大值为.【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.【详解】（1）令，，则，，，，当时，恒成立，∴函数在区间上具有性质；（2）∵，∴，∵在处取得极值，且为奇函数，∴在处也取得极值，∴，解得，∴，，当时，令，解得；令，解得；故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，∴，当时，恒成立，∴存在实数，使在区间上恒成立，∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；（3）∵，∴，令，则，令，则，当时，，在区间上单调递增，又∵，，∴存在，使，∴当时，，，在区间上单调递减，当时，，，在区间上单调递增，∴当时，的最小值为，由，有，∴，∵，∴，又∵恒成立，∴，∵且，∴的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.10．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．【答案】(1)，离心率(2)证明见解析，定点坐标为(3)【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率；（2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，斜率均存在，设，直线AB方程为，联立方程利用韦达定理求得，从而可求得点的坐标，再将换为，可得点的坐标，从而可求得直线的方程，即可得证；（3）由（2）可知直线MN过定点，则，化简整理结合函数的单调性即可得出答案.【详解】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以右焦点坐标，该椭圆的离心率；（2）证明：斜率均存在，设，直线AB方程为，则，联立，则有，将上式中换为，可得，若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，下证动直线MN过定点，若直线MN斜率存在，则，直线MN方程为，令得，所以此时直线MN也过定点，当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，不妨设斜率不存在，斜率为0，此时，则直线的方程为，过点，综上，动直线MN过定点；（3）解：由（2）可知直线MN过定点，，令，，因为，所以在上递减，所以时，取得最大值，此时.【点睛】本题考查了椭圆中直线过定点及椭圆中三角形的面积问题，计算量较大，考查了了分类讨论思想及数据分析和计算能力，属于难题.11．（2022·上海宝山·一模）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数(2)；(3).【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.（2）在处有极值，因为，则，故，得；，此时，，故和上，单调递增，上，单调递减，因为关于x的方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故（3），单调递减，对任意、且时，，，则对任意、且时，均有成立，转化为，对任意、且时，均有成立，即，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，①函数在上单调递减，即在上恒成立，又因为，，，故，得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；②函数在上单调递增，即在上恒成立，又因为，，，故，得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；综上所述，实数的取值范围为：.12．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）求函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）求导，计算导数大于0的解为原函数的单调递增区间，导数小于0为单调递减区间，递增递减的转折点为极大值点，递减递增的转折点为极小值点；（2）由第一小问的单调性，写出上的极值点和端点函数值，比较其大小可得最值.【详解】（1），令，得或；令，得，所以在和上严格增，在上严格减，极大值为，极小值为；（2）由（1）得在和上严格增，在上严格减，又，，所以最大值为，最小值为．13．（2022·上海虹口·一模）设，已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数，是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合．【答案】(1)的单调递增区间为：与；单调递减区间为：；(2)是定值6；(3).【分析】（1）由函数，求导函数，令，由导函数的零点将定义域分段，分析当变化时，，的变化情况，即可得函数的单调区间；（2）方法一：根据，，确定，与之间的等式关系，又由得与的关系，即可得与的关系，由（1）知和是函数的极值点，则当和分别求解，确定是否为定值即可；方法二：由，两式联立进行因式分解可得，即可得为定值；（3）由于函数在闭区间上的最大值只有可能在，6，，这4处取得，分别求解得，，，讨论或，分别求解的取值情况，即可得的取值集合．【详解】（1）解：由，，可得．因，由，解得．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增单调递减单调递增所以，的单调递增区间为：与；单调递减区间为：．（2）方法1：因为存在极值点，所以由（1）知：，且．因为，，故由，得即．因为，所以（*）由题意，得，即．由（1）知，和是函数的极值点，故当时，由（*）可得，解得，即，此时．当时，由（*）可得，解得，即，此时．综上，可得结论成立．方法2：因为存在极值点，所以由（1）知：，且．因为，，故由，得即．因为，所以（*）由题意，得，即，将其代入（*），得（**）即亦即．由于，因此．（3）解：因函数在闭区间上的最大值只有可能在，6，，这4处取得．又，，，（因）①若为在区间上的最大值（等于40），令，则，且，由，得．设，则恒成立，故在上严格递增，于是在上存在唯一的，使，易知，进而相应的．而此时，，因此符合题意．②若为在区间上的最大值（等于40），则，或．（i）当时，，，为在区间上的最大值，因此符合题意．（ii）当时，，，，于是不符合题意，舍去．综上所述，符合条件的的取值集合为．【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，主要涉及利用导数确定函数单调区间、极值点与方程的根、闭区间上的最值问题，需要注意解题的基本思路和基本方法，属于中等难度的题.本题解决极值点与函数方程的关键是运算问题，方法一强调，与之间的等式关系为，又由得与的关系，整理可得与的关系，再结合的取值情况即可得为定值；方法二强调的是多元变量的因式分解问题，主要涉及的是分组因式分解方法，需要保证两两分组后有公因式，利用方程的根即可得为定值；而对于函数在闭区间上的最大值即比较区间端点值与极值的大小即可得最大值的取值情况，且注意检验最值是否取到.14．（2022·上海徐汇·一模）已知.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【详解】（1）当时，，，所以，.所以函数在点处的切线方程为.（2）因为，定义域为，所以.①当时，与在上的变化情况如下：1+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在及内严格增，在内严格减；②当时，恒成立，所以函数的单调增区间为.综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；当时，函数单调增区间为.15．（2022·上海杨浦·一模）已知函数，其中为正整数，且为常数．(1)求函数的单调增区间；(2)若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围；(3)设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【分析】（1）由题知，再根据导数求解即可得答案；（2）由题知，函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得；（3）根据得，再证明时是恒为1的常数列，符合题意，和时不满足题意即可.【详解】（1）解：由题知，所以，令得，所以函数的单调增区间为．（2）解：当时，恒成立，所以，函数在上单调递增，所以函数在内均存在唯一零点只需即可，即因为为正整数，，所以对一切成立因为当时，，当且仅当时等号成立，所以．（3）解：由于得，下面证明时满足题意.①，则．则．由（2），是上的严格增函数，所以．所以，是恒为1的常数列，符合题意．②．，由于是上的严格增函数，所以．，由于是上的严格增函数，所以．所以，是严格增数列，那么无穷等比数列也为严格增数列．所以，．当时，．但这与矛盾故不符合题意．③时，，由于是上的严格增函数，所以．，由于是上的严格增函数，所以．所以，是严格减数列，那么无穷等比数列也为严格减数列．所以，．当时，．但这与矛盾故不符合题意．综上，使数列部分项可以构成等比数列的充要条件是：．【点睛】关键点点睛：本题第3问解题的关键在于根据得，进而分，，分别说明时成立，其他范围不成立即可.16．（2022·上海闵行·一模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．(1)判断函数和是否具有C关系；(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.【详解】（1）与是具有C关系，理由如下：根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，因为，，，所以，令，即，解得，所以与具有C关系.（2）令，因为，，所以，令，则，故，因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，当时，显然成立；当时，在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，综上：，即.（3）因为和，令，则，因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，因为，当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；当时，显然当时，，当时，因为在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，则，所以当；当；又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，所以函数与在上具有C关系，综上：，即.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.17．（2022·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；(2)求面积关于的函数解析式；(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米）【答案】(1)(2)(3)当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定的位置.【详解】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线段所在抛物线的方程为，由题意可知，点和在此抛物线上，代入可得：，.所以曲线段BC的方程为：.（2）由题意，线段的方程为，当点在曲线段上时，，当点在线段上时，，所以.（3）当时，，令，得，（舍去）.当时，；当时，.因此当时，是极大值，也是最大值.当时，，当时，是最大值.因为，所以当时，取得最大值，此时，所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.18．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）如图，用一张边长为3的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问：(1)求关于的函数关系式，并写出的范围；(2)在什么范围内变化时，容积随的增大而增大?随的增大而减小?(3)取何值时，容积最大？最大值是多少？【答案】(1)；(2)当时，容积随的增大而增大；当时，容积随的增大而减小；(3)当时，.【分析】（1）根据题意和长方体体积公式直接得解;（2）求导后根据导数正负确定函数增减即可；（3）确定根据函数的单调性即可确定最值.【详解】（1）.（2），，当时，，容积随的增大而增大，当时，，容积随的增大而减小；（3）当时，．19．（2022·上海长宁·一模）已知函数的定义域为（0，+∞）；(1)若；①求曲线在点（1，0）处的切线方程；②求函数的单调减区间和极小值；(2)若对任意，函数在区间（a，b]上均无最小值，且对于任意，当时，都有，求证：当时，；【答案】(1)①；②(2)见详解【分析】（1）①导数几何意义求解；②求导判断单调性求解.（2）首先证明对于任意,；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，【详解】（1）①因为，设切线的斜率为，根据导数几何意义得由点斜式方程得切线方程为：，即切线方程为：.②函数，极大值极小值由上表可得：在上单调递增，在上单调递减；的极小值为.（2）首先证明对于任意,当时，由可知介于和之间.若，则在区间存在最小值，与函数在区间（a，b]上均无最小值矛盾.利用归纳法和上面结论可得：对于任意，,当时，.其次证明当且时，；当且时，任取，设正整数满足，则若存在使得，则，即.由于当时，，所以在区间有最小值，与函数在区间（a，b]上均无最小值矛盾.类似可证，当且时，.最后证明：当时，.当时，成立.当时，由可知，存在使得，所以.当时，有：若，则,所以在上存在最小值，故不成立.若，则假设，则在上存在最小值，故假设不成立.所以当时，对于任意的都成立.又，故当所以，即.所以当时，则存在正整数使得,则所以当时，，同理可证得当时，.所以当时，必然存在正整数，使得,所以；所以综上所述：当当时，.20．（2022·上海浦东新·一模）已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.(1)分别判断函数、是否为函数；(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.【答案】(1)不是，是；(2)存在，；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，得到，，根据单调性得到结论；（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.【详解】（1）当时，不是严格增函数，故不是函数；当时，，是严格增函数，故是函数；（2）令，当时，由，得，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，故此时，得，从而严格增.当时，，后者严格增，当且仅当，即，又因为当时，，从而上，严格增，故为所求.（3），令，，若“严格增”等同于（或），当时，恒成立，故符合要求，当时，，解得：，当时，，等号成立当且仅当，故在与上分别严格增，且当时，；当时，.故此时也是R上的严格增函数.综上：，下设.则对任意，.令，则.当时，，等号成立当且仅当.因，故同上可知，为上的严格增函数，且.因而，当时，从而为函数.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.21．（2022·上海闵行·一模）如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．(1)求直线BC的方程；(2)求证：；(3)已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)见解析；(3)存在，.【分析】(1)由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；(2)设,可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；(3)由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.【详解】（1）解：由题意可得，所以直线的方程的截距式为，即为；（2）证明：设,因为，所以直线的方程为：；联立，得，即；直线的方程为：，即，当时，，即，所以==，又因为，所以，所以===.得证；（3）解：不存在，理由如下：由题(2)可知，不妨令，则，则，所以点T到的距离，设的方程为：，则点T到的距离，所以当时，，所以存在满足条件的.22．（2022·上海奉贤·一模）已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标；(3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、就是可得答案；（2）设，利用点在椭圆上和可求出点坐标；（3）求出直线、直线的方程可得点坐标及，利用得到，再由可得，即，利用的范围可得答案.【详解】（1），所以椭圆标准方程为；（2）设，，得到，所以；（3）因为点是椭圆上在第一象限内的点，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以，，，，，，，则，.23．（2022·上海浦东新·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.(1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；(2)若直线过点且与圆相切，求弦长的值；(3)若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.【答案】(1)左焦点、右焦点，离心率；(2)2；(3)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.（2）圆的圆心为原点，半径为1，当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.联列方程：，化简得，方程的判别式，设，，则，所以，即弦长的值为2；（3）设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，由题可知，所以，，故，因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，设，直线，联立，，同理，，所以，，设，则，化简得，所以同理所以，所以所以，所以因而因而直线直线PQ.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．24．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知抛物线的焦点F到准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程；(3)过点的直线与抛物线C交于、两个不同的点（均与点不重合），设直线、的斜率分别为、，求证：为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的定义求解，得到抛物线方程．（2）利用代入法，即可求线段的中点的轨迹方程．（3）设，，，，直线的方程为，代入抛物线方程得．利用韦达定理，结合斜率乘积，化简求解即可．【详解】（1）解：由题意抛物线的焦点为，准线为，又焦点到准线的距离为，所以，即，所以抛物线方程为．（2）解：由（1）知，设，，则，即，而点在抛物线上，，，即，此即所求点的轨迹方程．（3）证明：设，，，，直线的方程为，代入抛物线方程得．所以，，．所以，所以是定值．25．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l；(1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；(3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；【答案】(1)(2)(3)以线段MN为直径的圆C过定点