18.1.2 平行四边形的对角线性质 课件 华东师大版数学 八年级下册

华东师大版·数学·八年级（下）第18章平行四边形18.1平行四边形的性质第2课时平行四边形的对角线性质1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.学习目标1.平行四边形的定义是什么？2.平行四边形的边、角有哪些性质？复习导入

ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，有OA=OC,OB=OD.由此可得：

平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分.合作探究新知一平行四边形的性质——对角线互相平分对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三角形；数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积．数学表达式：如图，∵直线EF过平行四边形ABCD两对角线的交点O，∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE＝(AB＋BC＋CD＋DA)，S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝

如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？在ABCD中，∵AB=6,AO+BO+AB=15,∴AO+BO=15-6=9.又∵AO=OC,BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18.证明：例1如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F.求证：OE=OF.要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可.分析：例2∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵AB//DC,∴∠EBO=∠FDO.又∵∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO.∴OE=OF.解：例3由平行四边形对边相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30.又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．导引：如图，已知ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11，即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；解本例时，我们从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很多方便．归纳小结例4平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质.因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD交AC于O，再进行证明．导引：如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF.如图，连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形EBFD是平行四边形，∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，∴AE＝CF(等式的性质)．证明：本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形的特有的性质，易走弯路.因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．归纳小结如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O,指出图中各对相等的线段1巩固新知如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.

求证：OE=OF.2

(中考·常州)如图，已知ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(

)A．AO＝OD

B．AO⊥ODC．AO＝OC

D．AO⊥AB34如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(

)A．2cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cm1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；2.等底等高的平行四边形的面积相等．要点精析：(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．合作探究新知二平行四边形的面积拓展：(1)两等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们高的比；(2)两等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们底的比．3.根据平行四边形的两组对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的2倍．〈福州〉如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则ABCD的周长是________．例520求ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出AD的邻边AB或CD的长即可．∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∵AD∥BC，∠ADE＝∠DEC.∵DE平分∠ADC，∠ADE＝∠EDC.∴∠EDC＝∠DEC.∴DC＝EC＝4.∴ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.导引：〈本溪〉如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(

)A．6

B．12

C．18

D．24例6B过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出其面积．如图，过点A作AE⊥BC于E，∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，∴AE＝×AB＝×4＝2.∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.导引：求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．归纳小结如图，在ABCD中，对角线AC＝21cm，BC⊥AC＝6，垂足为点E，且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.例7设AD和BC之间的距离为x，则ABCD的面积等于AD·x.∵∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5，∴x=15(cm).即AD和BC之间的距离为15cm.解：合作探究1将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法有(

)A．1种B．2种C．4种D．无数种巩固新知2如图,在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点,点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为(

)A．2B.C.D．153如图，过ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的AEMG的面积S1与HCFM的面积S2的大小关系是(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2C．S1＝S2

D．2S1＝S21．(4分)(常州中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是()A．AO＝ODB．AO⊥ODC．OB＝ODD．AO⊥ABC课堂练习2．(4分)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则OB的长是()A．3B．4C．5D．6C3．(4分)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是______________________．1<OA<44．(8分)(大连中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.5．(4分)(易错题)▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，相邻两个小三角形的周长和为48cm，平行四边形的周长为44cm，有AC∶BD＝8∶5，则▱ABCD的两条对角线长分别为________________________．16cm，10cm6．(4分)(遂宁中考)如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为_________．147．(10分)(教材P79练习T3变式)如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.(1)求证：OE＝OF；(2)若AB＝6，BC＝5，OE＝2，求四边形BCFE的周长．8．(12分)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒．(1)求BQ的长(用含t的代数式表示)；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．1.平行四边形的性质：(1)边：平行四边形的对边相等.(2)角：平行四边形的对角相等.(3)对角线：平行四边形的对角线相等.2.平行四边形的面积：(1)面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；(2)等底等高的平行四边形的面积相等．归纳新知1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则▱ABCD的面积是()A．12B．12C．24D．30C课后练习2．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，则∠GFE的度数是()A．135°B．120°C．115°D．100°C3．(金华中考)如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是_________°.30①②④

5．(湘潭中考)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．6．(教材P79例7变式)(本溪中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连结EC.(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是1